Номер 2, страница 148 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 41. Взаимное усиление и ослабление волн в пространстве. Глава 5. Волновые свойства света - номер 2, страница 148.

2. При каком времени запаздывания одного колебания по отношению к другому возникает максимальная результирующая интенсивность при их интерференции? Чему она равна?

Решение

Интенсивность $I$ колебательного процесса (например, волны) пропорциональна квадрату его амплитуды. При наложении (интерференции) двух когерентных колебаний с интенсивностями $I_1$ и $I_2$ результирующая интенсивность $I_{рез}$ зависит от разности фаз $\Delta\varphi$ между ними и определяется по формуле: $$ I_{рез} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\varphi) $$

Максимальная результирующая интенсивность $I_{макс}$ наблюдается при условии конструктивной интерференции. Это происходит, когда колебания усиливают друг друга. Для этого значение $\cos(\Delta\varphi)$ должно быть максимальным, то есть равным 1. $$ \cos(\Delta\varphi) = 1 $$ Это условие выполняется, когда разность фаз $\Delta\varphi$ кратна $2\pi$: $$ \Delta\varphi = 2\pi k, \quad \text{где } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Разность фаз $\Delta\varphi$ связана с временем запаздывания $\Delta t$ одного колебания относительно другого через период колебаний $T$ (или угловую частоту $\omega = 2\pi/T$): $$ \Delta\varphi = \omega \Delta t = \frac{2\pi}{T} \Delta t $$

Чтобы найти время запаздывания, при котором интенсивность максимальна, приравняем выражения: $$ \frac{2\pi}{T} \Delta t = 2\pi k $$ $$ \Delta t = k \cdot T, \quad \text{где } k = 0, 1, 2, \ldots $$ (так как время запаздывания $\Delta t$ не может быть отрицательным). Следовательно, максимальная интенсивность возникает, когда одно колебание запаздывает относительно другого на время, равное целому числу периодов.

Теперь найдем, чему равна эта максимальная интенсивность. Подставим $\cos(\Delta\varphi) = 1$ в исходную формулу для интенсивности: $$ I_{макс} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cdot 1 $$ Полученное выражение является полным квадратом суммы: $$ I_{макс} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 $$

Ответ: Максимальная результирующая интенсивность возникает при времени запаздывания одного колебания по отношению к другому, равном целому числу периодов: $\Delta t = k \cdot T$ (где $T$ — период колебаний, $k = 0, 1, 2, \ldots$). Эта максимальная интенсивность равна $I_{макс} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$, где $I_1$ и $I_2$ — интенсивности исходных колебаний.