Номер 1, страница 148 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 41. Взаимное усиление и ослабление волн в пространстве. Глава 5. Волновые свойства света - номер 1, страница 148.

В О П Р О С Ы

1. Почему результат сложения двух когерентных волн зависит от их разности фаз или от времени запаздывания одного колебания по отношению к другому?

Результат сложения двух волн определяется принципом суперпозиции, согласно которому в каждой точке пространства, где распространяются волны, результирующее колебание является геометрической суммой колебаний, создаваемых каждой волной в отдельности. Для когерентных волн, имеющих одинаковую частоту и постоянную разность фаз, результат этого сложения (интерференция) будет устойчивым во времени.

Решение

Рассмотрим две когерентные волны, описываемые в некоторой точке пространства уравнениями:

$y_1 = A_1 \cos(\omega t + \phi_1)$

$y_2 = A_2 \cos(\omega t + \phi_2)$

где $A_1$ и $A_2$ — амплитуды волн, $\omega$ — их одинаковая циклическая частота, а $\phi_1$ и $\phi_2$ — начальные фазы. Разность фаз $\Delta\phi = \phi_2 - \phi_1$ для когерентных волн постоянна.

Согласно принципу суперпозиции, результирующее колебание $y$ равно сумме $y_1$ и $y_2$:

$y = y_1 + y_2 = A_1 \cos(\omega t + \phi_1) + A_2 \cos(\omega t + \phi_2)$

Амплитуда $A$ результирующего колебания зависит от амплитуд исходных волн и разности их фаз. Формула для квадрата амплитуды результирующей волны имеет вид:

$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\Delta\phi)$

Из этой формулы видно, что результат сложения (определяемый амплитудой $A$) напрямую зависит от косинуса разности фаз $\cos(\Delta\phi)$.

Возможны два крайних случая:

1. Максимальное усиление (конструктивная интерференция). Происходит, когда волны приходят в точку в одинаковой фазе. В этом случае $\cos(\Delta\phi) = 1$, что соответствует разности фаз $\Delta\phi = 2\pi n$, где $n = 0, \pm1, \pm2, ...$. Амплитуда результирующей волны максимальна и равна сумме амплитуд: $A = A_1 + A_2$.

2. Максимальное ослабление (деструктивная интерференция). Происходит, когда волны приходят в точку в противофазе. В этом случае $\cos(\Delta\phi) = -1$, что соответствует разности фаз $\Delta\phi = (2n+1)\pi$, где $n = 0, \pm1, \pm2, ...$. Амплитуда результирующей волны минимальна и равна модулю разности амплитуд: $A = |A_1 - A_2|$. Если амплитуды исходных волн равны ($A_1=A_2$), то результирующая амплитуда становится равной нулю.

Связь разности фаз и времени запаздывания. Время запаздывания $\Delta t$ одной волны относительно другой напрямую связано с разностью фаз. Если вторая волна запаздывает на время $\Delta t$, ее фаза будет отличаться от фазы первой на величину $\Delta\phi = \omega \Delta t$. Таким образом, зависимость от времени запаздывания эквивалентна зависимости от разности фаз. Чем больше время запаздывания, тем больше сдвиг по фазе, что и определяет, сложатся ли "горбы с горбами" (усиление) или "горбы с впадинами" (ослабление).

Ответ: Результат сложения когерентных волн зависит от их разности фаз, потому что именно разность фаз определяет, как соотносятся смещения частиц среды (или напряженности полей) от каждой из волн в любой момент времени. Если фазы совпадают (разность фаз равна $2\pi n$), то смещения складываются, приводя к усилению волны. Если волны находятся в противофазе (разность фаз равна $(2n+1)\pi$), то смещения вычитаются, приводя к ослаблению. Время запаздывания одного колебания является прямой причиной возникновения разности фаз, поэтому зависимость от него эквивалентна зависимости от разности фаз.