Номер 3, страница 141 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 39. Полное внутреннее отражение. Дисперсия света. Глава 5. Волновые свойства света - номер 3, страница 141.

3. На дне пруда глубиной 0,4 м сидит лягушка, прячущаяся под круглым листом, который плавает на поверхности воды. Каким должен быть минимальный радиус листа, чтобы лягушку не увидел аист, находящийся над поверхностью воды?

Дано:

Глубина пруда $h = 0,4$ м

Показатель преломления воды $n_1 \approx 1,33$ (табличное значение)

Показатель преломления воздуха $n_2 \approx 1,00$ (табличное значение)

Найти:

Минимальный радиус листа $R_{min}$

Решение:

Чтобы аист не увидел лягушку, круглый лист должен закрывать всю область на поверхности воды, через которую свет от лягушки может выйти из воды в воздух. Граница этой области определяется явлением полного внутреннего отражения. Свет от лягушки, падающий на границу раздела вода-воздух под углом, большим или равным предельному (критическому) углу, не выходит из воды.

Минимальный радиус листа соответствует случаю, когда луч света, идущий от лягушки к краю листа, падает на границу раздела вода-воздух под предельным углом $α_{пр}$. При этом угол преломления $β$ будет равен $90°$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin α = n_2 \sin β$

Для предельного угла падения $α = α_{пр}$ и $β = 90°$:

$n_1 \sin α_{пр} = n_2 \sin 90°$

Так как $\sin 90° = 1$, то синус предельного угла равен:

$\sin α_{пр} = \frac{n_2}{n_1}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный глубиной пруда $h$ (катет), радиусом листа $R$ (второй катет) и путем луча света от лягушки до края листа (гипотенуза). Угол падения $α_{пр}$ — это угол между лучом света и нормалью к поверхности (вертикалью), то есть угол, прилежащий к катету $h$.

Из геометрии этого треугольника следует, что:

$\tan α_{пр} = \frac{R}{h}$

Отсюда минимальный радиус листа:

$R_{min} = h \cdot \tan α_{пр}$

Найдем тангенс предельного угла через его синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$:

$\cos α_{пр} = \sqrt{1 - \sin^2 α_{пр}} = \sqrt{1 - (\frac{n_2}{n_1})^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$

$\tan α_{пр} = \frac{\sin α_{пр}}{\cos α_{пр}} = \frac{n_2/n_1}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/n_1} = \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Подставим это выражение в формулу для радиуса:

$R_{min} = h \cdot \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Выполним вычисления:

$R_{min} = 0,4 \cdot \frac{1,00}{\sqrt{1,33^2 - 1,00^2}} = 0,4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1,7689 - 1}} = 0,4 \cdot \frac{1}{\sqrt{0,7689}} \approx 0,4 \cdot \frac{1}{0,8769} \approx 0,4 \cdot 1,1404 \approx 0,456$ м

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: минимальный радиус листа должен быть приблизительно 0,46 м.