Страница 141 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Какое физическое явление называют полным внутренним отражением? Как вычислить угол полного внутреннего отражения? Приведите примеры использования полного внутреннего отражения в волоконной оптике.

Какое физическое явление называют полным внутренним отражением?

Полное внутреннее отражение — это физическое явление, которое происходит при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную среду (например, из воды в воздух или из стекла в воздух). Если угол падения света на границу раздела двух сред превышает некоторое критическое значение, называемое предельным углом, то свет не преломляется и не выходит во вторую среду, а полностью отражается обратно в первую, более плотную среду. Интенсивность отраженного пучка света при этом практически равна интенсивности падающего пучка.

Ответ: Полное внутреннее отражение — это явление полного отражения света от границы раздела двух сред при его падении из оптически более плотной среды в менее плотную под углом, превышающим предельный угол.

Как вычислить угол полного внутреннего отражения?

Угол, при котором начинается явление полного внутреннего отражения, называется предельным углом полного внутреннего отражения ($ \alpha_{пр} $). Его можно вычислить, используя закон преломления света (закон Снеллиуса): $ n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta $, где $ n_1 $ — показатель преломления первой (оптически более плотной) среды, $ n_2 $ — показатель преломления второй (оптически менее плотной) среды, $ \alpha $ — угол падения, а $ \beta $ — угол преломления.

Предельный угол падения $ \alpha_{пр} $ соответствует углу преломления $ \beta = 90^\circ $, при котором преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред. Подставляя это значение в закон Снеллиуса, получаем:

$ n_1 \sin \alpha_{пр} = n_2 \sin 90^\circ $

Поскольку $ \sin 90^\circ = 1 $, то:

$ n_1 \sin \alpha_{пр} = n_2 $

Отсюда можно выразить синус предельного угла:

$ \sin \alpha_{пр} = \frac{n_2}{n_1} $

Сам предельный угол вычисляется по формуле:

$ \alpha_{пр} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) $

Это условие выполняется только при $ n_1 > n_2 $.

Ответ: Предельный угол полного внутреннего отражения $ \alpha_{пр} $ вычисляется по формуле $ \alpha_{пр} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right) $, где $ n_1 $ и $ n_2 $ — показатели преломления оптически более плотной и менее плотной сред соответственно.

Приведите примеры использования полного внутреннего отражения в волоконной оптике.

Явление полного внутреннего отражения является основополагающим принципом работы волоконной оптики. Оптическое волокно состоит из центральной части — сердцевины (с высоким показателем преломления $ n_1 $) и внешней оболочки (с более низким показателем преломления $ n_2 $). Свет, введенный в сердцевину под углом, большим предельного, многократно отражается от границы с оболочкой и распространяется вдоль волокна.

Примеры использования:

1. Передача данных (Телекоммуникации): Оптоволоконные кабели используются для высокоскоростной передачи огромных объемов информации на большие расстояния. Световые сигналы, кодирующие данные (интернет, телефонная связь, телевидение), распространяются по кабелю с минимальными потерями энергии.

2. Медицина (Эндоскопия): В медицинских приборах, таких как эндоскопы, используются жгуты из оптических волокон. Один жгут передает свет внутрь тела пациента для освещения исследуемой области, а другой — передает изображение этой области обратно врачу для диагностики.

3. Декоративное освещение и датчики: Оптоволокно используется для создания световых эффектов в дизайне ("звездное небо") и в различных датчиках для измерения температуры, давления или деформации, так как эти физические величины могут влиять на условия распространения света в волокне.

Ответ: В волоконной оптике полное внутреннее отражение используется для передачи света и информации на большие расстояния с минимальными потерями в телекоммуникационных сетях (интернет, ТВ), в медицинских эндоскопах для визуализации внутренних органов, а также в различных датчиках и системах декоративного освещения.

2. Какую волну называют монохроматической?

Монохроматической волной (от греческих слов μόνος — один, единственный и χρῶμα — цвет) называют электромагнитную волну, имеющую строго определённую и постоянную во времени частоту колебаний. Для видимого света это означает, что волна имеет один чистый цвет, так как человеческий глаз воспринимает разные частоты света как разные цвета.

В строгом смысле, монохроматическая волна — это идеализированная модель, представляющая собой бесконечную в пространстве и времени синусоидальную волну. Она описывается гармонической функцией, например, для напряженности электрического поля: $E(t) = E_0 \cos(\omega t + \phi_0)$, где $E_0$ — амплитуда, $\omega$ — постоянная круговая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза. Обычная частота $\nu$ связана с круговой частотой соотношением $\omega = 2\pi\nu$.

Поскольку частота ($\nu$) и длина волны ($\lambda$) в определённой среде связаны соотношением $\lambda = v/\nu$, где $v$ — фазовая скорость волны в среде, то монохроматическая волна характеризуется также и строго определённой длиной волны.

Абсолютно монохроматические волны в природе не существуют. Любой реальный источник излучает свет в некотором, пусть и очень узком, диапазоне частот (имеет ненулевую ширину спектральной линии). Однако излучение таких источников, как лазеры, в очень хорошем приближении можно считать монохроматическим.

Ответ: Монохроматической называют волну, характеризующуюся одной единственной, строго определённой частотой и, соответственно, длиной волны. В видимом диапазоне такая волна соответствует свету одного чистого цвета.

3. Какое физическое явление называют дисперсией?

Дисперсия света — это физическое явление, заключающееся в разложении пучка белого (сложного) света в спектр при его прохождении через оптически прозрачную преломляющую среду. В результате этого явления белый свет, который является совокупностью электромагнитных волн разной частоты, разделяется на составляющие его монохроматические цвета: от красного до фиолетового.

Причиной дисперсии является зависимость показателя преломления $n$ вещества от частоты $ν$ (или, что эквивалентно, от длины волны $λ$) световой волны. Эта зависимость выражается функцией $n = f(λ)$. Скорость распространения света $v$ в среде связана с показателем преломления соотношением $v = c/n$, где $c$ — скорость света в вакууме. Поскольку показатель преломления для разных цветов (длин волн) различен, они распространяются в среде с разной скоростью и, согласно закону преломления света, отклоняются на разные углы.

Для большинства прозрачных веществ (например, стекла) в видимой области спектра наблюдается так называемая нормальная дисперсия: с увеличением длины волны $λ$ показатель преломления $n$ уменьшается. Это означает, что красный свет (имеющий наибольшую длину волны в видимом спектре) преломляется слабее всего, так как для него показатель преломления наименьший. Фиолетовый свет (с наименьшей длиной волны) преломляется сильнее всего, поскольку для него показатель преломления наибольший. Именно поэтому при прохождении через стеклянную призму пучок белого света раскладывается в цветную полоску — спектр.

Впервые явление дисперсии света было подробно исследовано и объяснено Исааком Ньютоном в 1666 году. Он экспериментально доказал, что белый свет не является простым, а состоит из лучей разных цветов. Ярким природным примером дисперсии является радуга, которая возникает в результате преломления и разложения солнечного света в многочисленных каплях дождя.

Ответ: Дисперсией называют явление зависимости показателя преломления вещества и, следовательно, скорости света в нем от частоты (или длины волны) световой волны, что приводит к разложению сложного света в спектр при прохождении через преломляющую среду.

4. Какая зависимость абсолютного показателя преломления стекла от частоты следует из опыта Ньютона?

Решение

Опыт Исаака Ньютона, в котором он пропускал пучок белого солнечного света через стеклянную призму, продемонстрировал явление дисперсии света. Суть этого явления заключается в том, что белый свет, который является сложным, разлагается на составляющие его монохроматические цвета, образуя спектр.

В полученном спектре цвета располагались в известной последовательности (от красного до фиолетового). Ньютон заметил, что лучи разного цвета преломляются призмой по-разному: фиолетовые лучи отклоняются на самый большой угол, а красные — на самый малый.

Степень преломления света на границе двух сред характеризуется показателем преломления $n$. Чем сильнее отклоняется луч от своего первоначального направления, тем больше показатель преломления вещества для этого луча. Таким образом, из опыта Ньютона следует, что показатель преломления стекла для фиолетового света больше, чем для красного света:

$n_{фиолетовый} > n_{красный}$

В свою очередь, различные цвета видимого света соответствуют электромагнитным волнам с разной частотой $ν$. Частота света возрастает при переходе по спектру от красного к фиолетовому:

$ν_{фиолетовый} > ν_{красный}$

Сопоставив эти два вывода, можно установить искомую зависимость: чем выше частота световой волны, тем больше для нее абсолютный показатель преломления стекла. То есть, зависимость является прямой (возрастающей функцией).

Ответ: Из опыта Ньютона следует, что абсолютный показатель преломления стекла увеличивается с увеличением частоты света. Эта зависимость является прямой: чем выше частота света, тем сильнее он преломляется в стекле.

5. Как получается белый цвет на экране компьютера?

Белый цвет на экране компьютера, как и на экранах других цифровых устройств (телевизоров, смартфонов), получается путем смешения трех основных цветов света. Этот процесс основан на аддитивной цветовой модели, известной как RGB.

Принцип работы RGB модели

1. Пиксели и субпиксели: Изображение на экране состоит из множества мельчайших точек, называемых пикселями. Каждый пиксель, в свою очередь, состоит из трех еще более мелких элементов — субпикселей. Каждый субпиксель излучает свет одного из трех основных цветов: красного (Red), зеленого (Green) или синего (Blue).

2. Аддитивное смешение цветов: В отличие от смешивания красок (субтрактивная модель), где смешение основных цветов дает более темный оттенок, смешение световых лучей работает по аддитивному принципу. Это означает, что при сложении световых потоков разных цветов их общая яркость увеличивается.

Получение белого цвета

Для того чтобы человеческий глаз воспринял какой-либо участок экрана как белый, необходимо, чтобы все три субпикселя (красный, зеленый и синий) в составе соответствующего пикселя светились с максимальной интенсивностью. Когда эти три основных цвета света смешиваются в равных и максимальных пропорциях, наш мозг интерпретирует это сочетание как белый цвет.

Управляя яркостью каждого субпикселя, можно получить не только белый, но и любой другой цвет видимого спектра. Например, если все субпиксели выключены (нулевая интенсивность), мы видим черный цвет (отсутствие света). Если все три субпикселя светятся с одинаковой, но не максимальной интенсивностью, мы получаем различные оттенки серого. Комбинируя разные уровни яркости для красного, зеленого и синего субпикселей, можно создать миллионы различных цветовых оттенков.

Таким образом, белый цвет на экране — это не какой-то отдельный "белый" источник света, а оптическая иллюзия, создаваемая путем сложения красного, зеленого и синего света на максимальной яркости.

Ответ: Белый цвет на экране компьютера получается в результате аддитивного смешения трех основных цветов — красного (R), зеленого (G) и синего (B) — при их максимальной интенсивности. Каждый пиксель экрана, состоящий из красного, зеленого и синего субпикселей, при отображении белого цвета зажигает все три субпикселя на полную яркость.

З А Д А Ч И

1. Найдите угол полного внутреннего отражения для границы раздела вода–воздух.

Найдите угол полного внутреннего отражения для границы раздела вода–воздух.

Дано:

Показатель преломления воды (оптически более плотная среда), $n_1 = 1.33$

Показатель преломления воздуха (оптически менее плотная среда), $n_2 \approx 1.00$

Найти:

Угол полного внутреннего отражения $\alpha_0$.

Решение:

Полное внутреннее отражение — это явление, которое наблюдается при переходе света из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим показателем преломления. В данном случае свет переходит из воды ($n_1 = 1.33$) в воздух ($n_2 \approx 1.00$), то есть из оптически более плотной среды в менее плотную, и условие $n_1 > n_2$ выполняется.

Угол полного внутреннего отражения (также называемый предельным углом) $\alpha_0$ — это угол падения, при котором преломленный луч скользит вдоль границы раздела сред, то есть угол преломления $\beta$ составляет $90^\circ$.

Для нахождения этого угла используется закон преломления света (закон Снеллиуса): $n_1 \sin(\alpha) = n_2 \sin(\beta)$

где $n_1$ и $n_2$ — показатели преломления первой и второй сред, $\alpha$ — угол падения, $\beta$ — угол преломления.

При предельном угле падения $\alpha = \alpha_0$, угол преломления $\beta = 90^\circ$. Подставим эти значения в закон Снеллиуса: $n_1 \sin(\alpha_0) = n_2 \sin(90^\circ)$

Так как значение $\sin(90^\circ) = 1$, формула принимает вид: $n_1 \sin(\alpha_0) = n_2$

Из этого соотношения выразим синус предельного угла: $\sin(\alpha_0) = \frac{n_2}{n_1}$

Подставим числовые значения показателей преломления для воздуха и воды: $\sin(\alpha_0) = \frac{1.00}{1.33} \approx 0.7518$

Чтобы найти сам угол $\alpha_0$, необходимо вычислить арксинус полученного значения: $\alpha_0 = \arcsin(0.7518) \approx 48.75^\circ$

Ответ: угол полного внутреннего отражения для границы раздела вода–воздух составляет приблизительно $48.75^\circ$.

2. При каком угле падения $\alpha$ луча из воды в стекло отражённый луч перпендикулярен преломлённому?

Дано:

Луч света переходит из воды в стекло.

Показатель преломления воды (среда 1): $n_1 = 1.33$

Показатель преломления стекла (среда 2): $n_2 = 1.5$

Условие: отражённый луч перпендикулярен преломлённому лучу.

Найти:

Угол падения $\alpha$.

Решение:

На границе раздела двух сред падающий луч света разделяется на отражённый и преломлённый. Обозначим угол падения как $\alpha$, угол отражения как $\alpha'$, и угол преломления как $\beta$. Все углы отсчитываются от нормали к границе раздела сред.

Согласно закону отражения света, угол отражения равен углу падения: $ \alpha' = \alpha $

По условию задачи, отражённый луч перпендикулярен преломлённому. Из геометрии распространения лучей следует, что в этом случае сумма угла отражения и угла преломления составляет $90^\circ$: $ \alpha' + \beta = 90^\circ $

Так как $\alpha' = \alpha$, получаем: $ \alpha + \beta = 90^\circ $ Это условие соответствует падению света под углом, известным как угол Брюстера. Из этого соотношения можно выразить угол преломления: $ \beta = 90^\circ - \alpha $

Теперь применим закон преломления света (закон Снеллиуса): $ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta $

Подставим в это уравнение найденное выражение для угла $\beta$: $ n_1 \sin\alpha = n_2 \sin(90^\circ - \alpha) $

Используя тригонометрическое тождество $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получаем: $ n_1 \sin\alpha = n_2 \cos\alpha $

Чтобы найти $\alpha$, разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ (мы можем это сделать, так как $\alpha \neq 90^\circ$) и на $n_1$: $ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{n_2}{n_1} $ $ \tan\alpha = \frac{n_2}{n_1} $

Подставим числовые значения показателей преломления для воды и стекла: $ \tan\alpha = \frac{1.5}{1.33} \approx 1.1278 $

Найдём угол $\alpha$, вычислив арктангенс от полученного значения: $ \alpha = \arctan(1.1278) \approx 48.44^\circ $

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: угол падения, при котором отражённый луч перпендикулярен преломлённому, составляет $\alpha \approx 48.4^\circ$.

3. На дне пруда глубиной 0,4 м сидит лягушка, прячущаяся под круглым листом, который плавает на поверхности воды. Каким должен быть минимальный радиус листа, чтобы лягушку не увидел аист, находящийся над поверхностью воды?

Дано:

Глубина пруда $h = 0,4$ м

Показатель преломления воды $n_1 \approx 1,33$ (табличное значение)

Показатель преломления воздуха $n_2 \approx 1,00$ (табличное значение)

Найти:

Минимальный радиус листа $R_{min}$

Решение:

Чтобы аист не увидел лягушку, круглый лист должен закрывать всю область на поверхности воды, через которую свет от лягушки может выйти из воды в воздух. Граница этой области определяется явлением полного внутреннего отражения. Свет от лягушки, падающий на границу раздела вода-воздух под углом, большим или равным предельному (критическому) углу, не выходит из воды.

Минимальный радиус листа соответствует случаю, когда луч света, идущий от лягушки к краю листа, падает на границу раздела вода-воздух под предельным углом $α_{пр}$. При этом угол преломления $β$ будет равен $90°$.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin α = n_2 \sin β$

Для предельного угла падения $α = α_{пр}$ и $β = 90°$:

$n_1 \sin α_{пр} = n_2 \sin 90°$

Так как $\sin 90° = 1$, то синус предельного угла равен:

$\sin α_{пр} = \frac{n_2}{n_1}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный глубиной пруда $h$ (катет), радиусом листа $R$ (второй катет) и путем луча света от лягушки до края листа (гипотенуза). Угол падения $α_{пр}$ — это угол между лучом света и нормалью к поверхности (вертикалью), то есть угол, прилежащий к катету $h$.

Из геометрии этого треугольника следует, что:

$\tan α_{пр} = \frac{R}{h}$

Отсюда минимальный радиус листа:

$R_{min} = h \cdot \tan α_{пр}$

Найдем тангенс предельного угла через его синус, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 α + \cos^2 α = 1$:

$\cos α_{пр} = \sqrt{1 - \sin^2 α_{пр}} = \sqrt{1 - (\frac{n_2}{n_1})^2} = \frac{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}{n_1}$

$\tan α_{пр} = \frac{\sin α_{пр}}{\cos α_{пр}} = \frac{n_2/n_1}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/n_1} = \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Подставим это выражение в формулу для радиуса:

$R_{min} = h \cdot \frac{n_2}{\sqrt{n_1^2 - n_2^2}}$

Выполним вычисления:

$R_{min} = 0,4 \cdot \frac{1,00}{\sqrt{1,33^2 - 1,00^2}} = 0,4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1,7689 - 1}} = 0,4 \cdot \frac{1}{\sqrt{0,7689}} \approx 0,4 \cdot \frac{1}{0,8769} \approx 0,4 \cdot 1,1404 \approx 0,456$ м

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: минимальный радиус листа должен быть приблизительно 0,46 м.