Страница 198 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

3. Почему парное расположение нуклонов на энергетическом уровне в ядре энергетически выгодно?

Парное расположение нуклонов (протонов или нейтронов) на одном энергетическом уровне в ядре является энергетически выгодным из-за особенностей сильного ядерного взаимодействия и квантовых свойств самих нуклонов. Это явление объясняется несколькими взаимосвязанными факторами.

Принцип Паули и природа нуклонов

Нуклоны, как и электроны, являются фермионами — частицами с полуцелым спином (в данном случае спин равен $1/2$). Согласно принципу запрета Паули, два тождественных фермиона (например, два протона или два нейтрона) не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. В рамках оболочечной модели ядра это означает, что на одном и том же энергетическом уровне (с одинаковыми остальными квантовыми числами) могут находиться не более двух одинаковых нуклонов. При этом их спины должны быть направлены в противоположные стороны (антипараллельны). В результате суммарный спин такой нуклонной пары равен нулю.

Спин-зависимость ядерных сил

Ключевую роль играет природа сильного взаимодействия, которое удерживает нуклоны в ядре. Это взаимодействие является короткодействующим и, что очень важно, спин-зависимым. Сила притяжения между двумя нуклонами оказывается значительно больше, когда их спины антипараллельны (суммарный спин пары $S=0$), по сравнению со случаем, когда их спины параллельны (суммарный спин $S=1$).

Энергетическая выгода и энергия спаривания

Когда два нуклона образуют пару с антипараллельными спинами, их пространственные волновые функции могут максимально перекрываться, что приводит к наиболее сильному притяжению. Это сильное притяжение соответствует более глубокой потенциальной яме, то есть более низкому энергетическому состоянию. Разница в энергии между состоянием со спаренными нуклонами и состоянием с неспаренными нуклонами называется энергией спаривания.

Любая физическая система стремится занять состояние с наименьшей возможной энергией, так как это состояние является наиболее стабильным. Образование нуклонных пар как раз и приводит к понижению общей энергии ядра на величину энергии спаривания. Поэтому такое парное расположение является энергетически выгодным. Этот эффект объясняет, почему ядра с четным числом протонов и четным числом нейтронов (четно-четные ядра) являются самыми стабильными и распространенными в природе.

Ответ: Парное расположение нуклонов на энергетическом уровне в ядре энергетически выгодно, потому что сильное ядерное взаимодействие, удерживающее нуклоны вместе, является спин-зависимым и создает максимальное притяжение для двух нуклонов с противоположно направленными спинами (спаренных). Такое спаривание, согласующееся с принципом Паули, приводит к выделению дополнительной энергии связи (энергии спаривания), что понижает общую энергию системы и, следовательно, увеличивает стабильность атомного ядра.

4. Какие ядра относят к магическим?

Магическими ядрами называют атомные ядра, у которых число протонов ($Z$) или число нейтронов ($N$) равно одному из так называемых «магических чисел». Эти ядра отличаются значительно большей устойчивостью по сравнению с соседними ядрами в таблице нуклидов.

Существование магических ядер объясняется оболочечной моделью ядра. Согласно этой модели, нуклоны (протоны и нейтроны) в ядре, подобно электронам в атоме, располагаются на дискретных энергетических уровнях, которые группируются в оболочки. Когда протонная или нейтронная оболочка полностью заполняется, ядро приобретает особую устойчивость. Числа нуклонов, соответствующие полностью заполненным оболочкам, и называются магическими.

Экспериментально установлены следующие магические числа для протонов и нейтронов: $2, 8, 20, 28, 50, 82, 126$. Для нейтронов также предсказывается магическое число $184$.

Различают два типа магических ядер:

• Магические ядра: ядра, у которых магическим является только число протонов ($Z$) или только число нейтронов ($N$). Например, все стабильные изотопы олова ($_{50}Sn$) имеют магическое число протонов $Z=50$.
• Дважды магические ядра: ядра, у которых и число протонов ($Z$), и число нейтронов ($N$) являются магическими. Эти ядра обладают исключительно высокой стабильностью.

Примеры дважды магических ядер:

• Гелий-4: $_{2}^{4}He$ ($Z=2, N=2$)
• Кислород-16: $_{8}^{16}O$ ($Z=8, N=8$)
• Кальций-40: $_{20}^{40}Ca$ ($Z=20, N=20$)
• Кальций-48: $_{20}^{48}Ca$ ($Z=20, N=28$)
• Никель-78: $_{28}^{78}Ni$ ($Z=28, N=50$)
• Свинец-208: $_{82}^{208}Pb$ ($Z=82, N=126$)

Свойства магических ядер, подтверждающие их особую стабильность:

• Повышенная энергия связи на один нуклон.
• Большая распространённость в природе по сравнению с соседними нуклидами.
• Значительно более высокая энергия первого возбуждённого состояния.
• Малое сечение захвата нейтронов.
• Сферическая форма в основном состоянии.

Ответ: К магическим относят ядра, в которых число протонов или число нейтронов равно одному из магических чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Эти ядра обладают повышенной стабильностью благодаря полностью заполненным нуклонным оболочкам. Если и число протонов, и число нейтронов являются магическими, ядро называется дважды магическим и отличается особо высокой устойчивостью.

5. Объясните зависимость радиуса ядра от массового числа.

Решение

Зависимость радиуса ядра от массового числа объясняется на основе модели, в которой плотность ядерного вещества считается практически постоянной для всех атомных ядер. Это означает, что объем ядра V прямо пропорционален общему числу нуклонов (протонов и нейтронов) в нем, то есть массовому числу A.

1. Объем ядра пропорционален массовому числу: $V \propto A$.

2. Атомное ядро в первом приближении можно считать сферой. Объем сферы выражается через ее радиус R формулой: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

3. Сопоставив эти два выражения, получаем, что $\frac{4}{3}\pi R^3$ пропорционально A. Поскольку $\frac{4}{3}\pi$ является константой, можно утверждать, что куб радиуса ядра пропорционален массовому числу:

$R^3 \propto A$

4. Чтобы найти зависимость самого радиуса от массового числа, извлечем кубический корень из обеих частей этого соотношения:

$R \propto A^{1/3}$

Для перехода от пропорциональности к равенству вводят эмпирический коэффициент $r_0$, который имеет смысл радиуса одного нуклона. Таким образом, формула для радиуса ядра принимает вид:

$R = r_0 \cdot A^{1/3}$

где:

• R — радиус ядра.
• A — массовое число ядра.
• $r_0$ — константа, значение которой, определенное из экспериментов по рассеянию частиц на ядрах, составляет примерно $(1.2 - 1.3) \cdot 10^{-15}$ м, или 1.2 - 1.3 фемтометра (фм).

Эта формула показывает, что с увеличением количества нуклонов в ядре его радиус растет, но медленнее, чем само количество нуклонов. Например, чтобы увеличить радиус ядра в 2 раза, необходимо увеличить число нуклонов в $2^3 = 8$ раз.

Ответ: Радиус атомного ядра R пропорционален кубическому корню из массового числа A. Эта зависимость выражается эмпирической формулой $R = r_0 \cdot A^{1/3}$, что является следствием практически постоянной плотности ядерного вещества. Константа $r_0$ приблизительно равна $1.2 \cdot 10^{-15}$ м.

ЗАДАЧИ

1. Сколько протонов и нейтронов содержит изотоп $ {}_{7}^{15}N $?

Дано:

Изотоп азота: $^{15}_{7}N$

Найти:

Число протонов ($p$) и число нейтронов ($n$) в ядре изотопа.

Решение:

Для определения состава ядра атома используется стандартное обозначение изотопа $^{A}_{Z}X$, где:

• $X$ — это символ химического элемента (в данном случае N — азот).
• $Z$ — это зарядовое число (или атомный номер). Оно указывает на количество протонов в ядре и определяет положение элемента в периодической таблице Менделеева.
• $A$ — это массовое число. Оно равно общему числу нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре.

Исходя из обозначения изотопа азота $^{15}_{7}N$, мы можем определить следующие величины:

• Зарядовое число $Z = 7$.
• Массовое число $A = 15$.

Число протонов ($p$) в ядре равно зарядовому числу $Z$.

$p = Z = 7$

Число нейтронов ($n$) в ядре можно рассчитать как разность между массовым числом $A$ и числом протонов $Z$.

$n = A - Z$

Подставим значения для нашего изотопа:

$n = 15 - 7 = 8$

Таким образом, ядро изотопа азота $^{15}_{7}N$ содержит 7 протонов и 8 нейтронов.

Ответ: изотоп $^{15}_{7}N$ содержит 7 протонов и 8 нейтронов.

2. Сколько нейтронов в ядре ${^{15}O}$?

Дано:

Изотоп кислорода $^{15}\text{O}$.

Найти:

Число нейтронов $N$ в ядре.

Решение:

Для определения состава атомного ядра используется стандартное обозначение $_{Z}^{A}X$, где $A$ — массовое число (сумма протонов и нейтронов), а $Z$ — зарядовое число (число протонов). Число нейтронов $N$ в ядре вычисляется как разность между массовым и зарядовым числами по формуле:

$N = A - Z$

В данном случае мы имеем дело с изотопом кислорода $^{15}\text{O}$. Из этого обозначения следует, что его массовое число $A = 15$.

Зарядовое число $Z$ для кислорода (O) можно найти по его порядковому номеру в периодической таблице химических элементов. Порядковый номер кислорода — 8, следовательно, в его ядре находится 8 протонов, и $Z = 8$.

Теперь подставим известные значения в формулу и вычислим число нейтронов:

$N = 15 - 8 = 7$

Ответ: 7.

3. Рассчитайте радиус ядра атома серебра $^\text{108}_\text{47}\text{Ag}$.

Дано:

Атом серебра: $_{47}^{108}\text{Ag}$

Массовое число $A = 108$

Эмпирическая константа $R_0 = 1.2 \cdot 10^{-15}$ м

Найти:

Радиус ядра $R$ - ?

Решение:

Для расчета радиуса атомного ядра используется эмпирическая формула, которая связывает радиус ядра с его массовым числом:

$R = R_0 \cdot A^{1/3}$

где $R$ — радиус ядра, $A$ — массовое число атома (общее число протонов и нейтронов в ядре), а $R_0$ — эмпирическая константа, значение которой составляет примерно $1.2 \cdot 10^{-15}$ м (или 1.2 фм).

Из обозначения изотопа серебра $_{47}^{108}\text{Ag}$ следует, что его массовое число $A$ равно 108.

Подставим известные значения в формулу:

$R = 1.2 \cdot 10^{-15} \text{ м} \cdot (108)^{1/3}$

Вычислим значение кубического корня из 108:

$\sqrt[3]{108} \approx 4.7622$

Теперь можем рассчитать радиус ядра:

$R \approx 1.2 \cdot 10^{-15} \text{ м} \cdot 4.7622 \approx 5.71464 \cdot 10^{-15} \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью константы $R_0$), получаем:

$R \approx 5.7 \cdot 10^{-15} \text{ м}$

Ответ: $R \approx 5.7 \cdot 10^{-15}$ м.