Номер 5, страница 198 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 53. Состав атомного ядра. Глава 7. Физика атомного ядра - номер 5, страница 198.

5. Объясните зависимость радиуса ядра от массового числа.

Решение

Зависимость радиуса ядра от массового числа объясняется на основе модели, в которой плотность ядерного вещества считается практически постоянной для всех атомных ядер. Это означает, что объем ядра V прямо пропорционален общему числу нуклонов (протонов и нейтронов) в нем, то есть массовому числу A.

1. Объем ядра пропорционален массовому числу: $V \propto A$.

2. Атомное ядро в первом приближении можно считать сферой. Объем сферы выражается через ее радиус R формулой: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

3. Сопоставив эти два выражения, получаем, что $\frac{4}{3}\pi R^3$ пропорционально A. Поскольку $\frac{4}{3}\pi$ является константой, можно утверждать, что куб радиуса ядра пропорционален массовому числу:

$R^3 \propto A$

4. Чтобы найти зависимость самого радиуса от массового числа, извлечем кубический корень из обеих частей этого соотношения:

$R \propto A^{1/3}$

Для перехода от пропорциональности к равенству вводят эмпирический коэффициент $r_0$, который имеет смысл радиуса одного нуклона. Таким образом, формула для радиуса ядра принимает вид:

$R = r_0 \cdot A^{1/3}$

где:

• R — радиус ядра.
• A — массовое число ядра.
• $r_0$ — константа, значение которой, определенное из экспериментов по рассеянию частиц на ядрах, составляет примерно $(1.2 - 1.3) \cdot 10^{-15}$ м, или 1.2 - 1.3 фемтометра (фм).

Эта формула показывает, что с увеличением количества нуклонов в ядре его радиус растет, но медленнее, чем само количество нуклонов. Например, чтобы увеличить радиус ядра в 2 раза, необходимо увеличить число нуклонов в $2^3 = 8$ раз.

Ответ: Радиус атомного ядра R пропорционален кубическому корню из массового числа A. Эта зависимость выражается эмпирической формулой $R = r_0 \cdot A^{1/3}$, что является следствием практически постоянной плотности ядерного вещества. Константа $r_0$ приблизительно равна $1.2 \cdot 10^{-15}$ м.