Номер 3, страница 39, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Напишите уравнение механических колебаний пружинного маятника аналогично уравнению электромагнитных колебаний в колебательном контуре.

3. Для того чтобы написать уравнение механических колебаний пружинного маятника, аналогичное уравнению электромагнитных колебаний, необходимо рассмотреть обе системы и их математическое описание.

1. Электромагнитные колебания в LC-контуре. Свободные незатухающие электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью $\text{L}$ и конденсатора емкостью $\text{C}$, описываются дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно второму правилу Кирхгофа, сумма напряжений на элементах замкнутого контура равна нулю: $U_L + U_C = 0$. Напряжение на катушке $U_L = L\frac{dI}{dt}$, а на конденсаторе $U_C = \frac{q}{C}$. Сила тока $\text{I}$ связана с зарядом $\text{q}$ соотношением $I = \frac{dq}{dt}$. Таким образом, $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$. Подставляя все в исходное равенство, получаем уравнение колебаний для заряда: $$ L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0 $$ Это уравнение также можно записать в виде $q'' + \omega_e^2 q = 0$, где $\omega_e = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ — циклическая частота электромагнитных колебаний.

2. Механические колебания пружинного маятника. Пружинный маятник представляет собой тело массой $\text{m}$, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости $\text{k}$. Колебания происходят под действием силы упругости. Согласно второму закону Ньютона, $ma = F$. Сила упругости, возвращающая тело в положение равновесия, по закону Гука равна $F = -kx$, где $\text{x}$ — смещение тела от положения равновесия. Ускорение $\text{a}$ является второй производной от смещения по времени: $a = \frac{d^2x}{dt^2}$.

Подставляя выражения для силы и ускорения в закон Ньютона, получаем: $$ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $$ Перенося все члены уравнения в левую часть, мы получаем искомое уравнение механических колебаний, которое по своей структуре полностью аналогично уравнению для LC-контура: $$ m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$ Это уравнение также можно представить в виде $x'' + \omega_m^2 x = 0$, где $\omega_m = \sqrt{\frac{k}{m}}$ — циклическая частота механических колебаний.

3. Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями. Сравнивая уравнения $Lq'' + \frac{1}{C}q = 0$ и $mx'' + kx = 0$, можно установить следующие аналогии между физическими величинами:

- Смещение $\text{x}$ аналогично заряду $\text{q}$.

- Масса $\text{m}$ (мера инертности) аналогична индуктивности $\text{L}$ (мера "электрической инертности", препятствующей изменению тока).

- Жесткость пружины $\text{k}$ аналогична величине, обратной емкости, $1/C$.

- Скорость тела $v = \frac{dx}{dt}$ аналогична силе тока $I = \frac{dq}{dt}$.

- Кинетическая энергия $W_k = \frac{mv^2}{2}$ аналогична энергии магнитного поля $W_L = \frac{LI^2}{2}$.

- Потенциальная энергия пружины $W_p = \frac{kx^2}{2}$ аналогична энергии электрического поля $W_C = \frac{q^2}{2C}$.

Ответ: Уравнение механических колебаний пружинного маятника, аналогичное уравнению электромагнитных колебаний в колебательном контуре, имеет вид: $m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$, где $\text{m}$ – масса тела маятника, $\text{k}$ – жесткость пружины, а $\text{x}$ – смещение тела от положения равновесия.