Номер 2, страница 44, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Чему равна разность фаз колебаний заряда и силы тока?

2. Чему равна разность фаз колебаний заряда и силы тока?

Решение

Колебания заряда $\text{q}$ на обкладках конденсатора в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) являются гармоническими. Их можно описать уравнением:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитудное (максимальное) значение заряда, $\omega$ — циклическая частота колебаний, а $\phi_0$ — начальная фаза. Для простоты выберем начальную фазу $\phi_0 = 0$, что соответствует моменту времени, когда заряд на конденсаторе максимален. Тогда:

$q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Сила тока $\text{i}$ по определению является скоростью изменения заряда, то есть первой производной от заряда по времени:

$i(t) = \frac{dq}{dt}$

Найдем производную от выражения для заряда $q(t)$:

$i(t) = (q_m \cos(\omega t))' = q_m \cdot (-\sin(\omega t)) \cdot \omega = -q_m \omega \sin(\omega t)$

Максимальное значение силы тока (амплитуда тока) равно $I_m = q_m \omega$. Тогда уравнение для силы тока принимает вид:

$i(t) = -I_m \sin(\omega t)$

Чтобы найти разность фаз между колебаниями заряда $q(t)$ и силы тока $i(t)$, необходимо представить их в виде одинаковых тригонометрических функций с одинаковыми знаками перед амплитудой. Преобразуем выражение для тока, используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha)$.

Подставив $\alpha = \omega t$, получим:

$i(t) = I_m \cos(\omega t + \frac{\pi}{2})$

Теперь сравним фазы колебаний заряда и силы тока:

Фаза колебаний заряда: $\phi_q = \omega t$.

Фаза колебаний силы тока: $\phi_i = \omega t + \frac{\pi}{2}$.

Разность фаз $\Delta\phi$ равна разности фазы тока и фазы заряда:

$\Delta\phi = \phi_i - \phi_q = (\omega t + \frac{\pi}{2}) - \omega t = \frac{\pi}{2}$

Это означает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на $\frac{\pi}{2}$ радиан (или на 90°). Когда заряд на конденсаторе максимален ($q = q_m$), сила тока в контуре равна нулю ($i = 0$). Когда конденсатор полностью разряжен ($q = 0$), сила тока достигает своего максимального значения ($i = I_m$).

Ответ: Разность фаз между колебаниями заряда и силы тока составляет $\frac{\pi}{2}$.