Номер 6, страница 44, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

6. Как определить начальную фазу колебаний методом векторных диаграмм?

6. Как определить начальную фазу колебаний методом векторных диаграмм?

Метод векторных диаграмм (или метод вращающегося вектора) позволяет наглядно представить гармоническое колебание. Колебание, описываемое уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, сопоставляется с вектором, который вращается на плоскости. Длина этого вектора равна амплитуде колебаний $\text{A}$, а вращается он против часовой стрелки с угловой скоростью $\omega$, равной циклической частоте. Проекция этого вектора на горизонтальную ось в любой момент времени $\text{t}$ даёт мгновенное значение смещения $x(t)$.

Полная фаза колебаний $\Phi(t) = \omega t + \phi_0$ – это угол, который образует вектор с положительным направлением горизонтальной оси в момент времени $\text{t}$. Начальная фаза $\phi_0$ – это значение фазы в начальный момент времени $t=0$. Таким образом, на векторной диаграмме начальная фаза $\phi_0$ представляет собой угол, который вектор колебания образует с положительным направлением оси отсчета (обычно оси Ox) в момент $t=0$.

Для определения начальной фазы $\phi_0$ необходимо знать начальные условия: начальное смещение $x_0 = x(0)$ и начальную скорость $v_0 = v(0)$. Эти величины связаны с начальной фазой следующими соотношениями:

1. Из уравнения смещения $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ при $t=0$ получаем: $x_0 = A \cos(\phi_0)$.

2. Из уравнения скорости $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$ при $t=0$ получаем: $v_0 = -A\omega \sin(\phi_0)$.

Из этих двух уравнений можно однозначно найти $\phi_0$. Из первого уравнения выражается косинус: $\cos(\phi_0) = x_0 / A$. Из второго — синус: $\sin(\phi_0) = -v_0 / (A\omega)$. Знаки косинуса (зависит от знака $x_0$) и синуса (зависит от знака $v_0$) однозначно определяют, в какой из четырех четвертей координатной плоскости находится угол $\phi_0$.

Графически начальную фазу находят так:

1. Строят окружность радиусом $\text{A}$ (амплитуда) с центром в начале координат.

2. На горизонтальной оси находят точку $x_0$ (начальное смещение) и проводят вертикальную линию до пересечения с окружностью. Это дает две возможные точки для конца вектора.

3. Выбор между этими двумя точками делается по знаку начальной скорости $v_0$. Поскольку вектор вращается против часовой стрелки, а его вертикальная проекция $A\sin(\phi_0)$ связана со скоростью ($v_0 \propto -\sin(\phi_0)$), то:

– если $v_0 < 0$ (тело движется в отрицательном направлении), то $\sin(\phi_0)$ должен быть положительным, и вектор находится в верхней полуплоскости.

– если $v_0 > 0$ (тело движется в положительном направлении), то $\sin(\phi_0)$ должен быть отрицательным, и вектор находится в нижней полуплоскости.

4. После определения положения вектора в начальный момент времени, искомая начальная фаза $\phi_0$ будет равна углу между этим вектором и положительным направлением оси Ox (угол отсчитывается против часовой стрелки).

Ответ: Начальная фаза колебаний $\phi_0$ в методе векторных диаграмм – это угол между вектором, представляющим колебание, и положительным направлением оси абсцисс в начальный момент времени $t=0$. Для её определения необходимо знать амплитуду $\text{A}$, начальное смещение $x_0$ и начальную скорость $v_0$. Положение вектора на диаграмме находится по его проекции на ось абсцисс, равной $x_0$, и с учетом знака $v_0$, который определяет полуплоскость (верхнюю или нижнюю), в которой находится вектор. Математически $\phi_0$ находится из системы уравнений: $\cos(\phi_0) = x_0 / A$ и $\sin(\phi_0) = -v_0 / (A\omega)$.