Номер 2, страница 45, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Постройте векторную диаграмму для свободных колебаний заряда и силы тока в идеальном колебательном контуре, начальная фаза колебаний заряда:

1 ) $\phi_0 = 0$;

2 ) $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$.

Дано:

Идеальный колебательный контур.

Начальная фаза колебаний заряда:

1) $\phi_{0_1} = 0$

2) $\phi_{0_2} = \frac{\pi}{3}$

Найти:

Построить (описать) векторную диаграмму для свободных колебаний заряда $\text{q}$ и силы тока $\text{I}$.

Решение:

Свободные колебания заряда $\text{q}$ и силы тока $\text{I}$ в идеальном колебательном контуре описываются гармоническими законами. Если колебания заряда происходят по закону косинуса, то уравнение имеет вид:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ — амплитуда колебаний заряда, $\omega$ — циклическая частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний заряда.

Сила тока $I(t)$ является первой производной от заряда по времени:

$I(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_m \cos(\omega t + \phi_0)) = - \omega q_m \sin(\omega t + \phi_0)$

Чтобы сравнить фазы колебаний заряда и тока, приведем уравнение для тока к виду с косинусом, используя формулу приведения $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$I(t) = \omega q_m \cos(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Амплитуда силы тока $I_m = \omega q_m$. Тогда:

$I(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0 + \frac{\pi}{2})$

Из сравнения уравнений для $q(t)$ и $I(t)$ видно, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на $\frac{\pi}{2}$ (или $90^\circ$).

Векторная диаграмма изображает векторы, соответствующие амплитудам заряда ($\vec{q}_m$) и силы тока ($\vec{I}_m$), в начальный момент времени $t=0$. Угол, который вектор образует с положительным направлением горизонтальной оси, равен начальной фазе соответствующей величины.

Таким образом, вектор $\vec{q}_m$ будет расположен под углом $\phi_0$ к горизонтальной оси, а вектор $\vec{I}_m$ — под углом $(\phi_0 + \frac{\pi}{2})$ к той же оси.

1) $\phi_0 = 0$

Начальная фаза колебаний заряда равна $\phi_0 = 0$. Это означает, что в начальный момент времени заряд на конденсаторе максимален. Вектор амплитуды заряда $\vec{q}_m$ на диаграмме направлен вдоль положительной полуоси Ox (угол с осью равен $\text{0}$).

Начальная фаза колебаний силы тока будет равна $\phi_{I} = \phi_0 + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$. Вектор амплитуды силы тока $\vec{I}_m$ направлен вдоль положительной полуоси Oy (угол с осью Ox равен $\frac{\pi}{2}$), то есть опережает вектор заряда на $90^\circ$.

Ответ: Векторная диаграмма для случая $\phi_0 = 0$: вектор $\vec{q}_m$ направлен по горизонтальной оси вправо; вектор $\vec{I}_m$ направлен по вертикальной оси вверх. Угол между векторами равен $\frac{\pi}{2}$.

2) $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$

Начальная фаза колебаний заряда равна $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$). Вектор амплитуды заряда $\vec{q}_m$ на диаграмме образует угол $\frac{\pi}{3}$ с положительной полуосью Ox и расположен в первом координатном квадранте.

Начальная фаза колебаний силы тока будет равна $\phi_{I} = \phi_0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + 3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (что соответствует $150^\circ$). Вектор амплитуды силы тока $\vec{I}_m$ образует угол $\frac{5\pi}{6}$ с положительной полуосью Ox и расположен во втором координатном квадранте.

Ответ: Векторная диаграмма для случая $\phi_0 = \frac{\pi}{3}$: вектор $\vec{q}_m$ направлен под углом $\frac{\pi}{3}$ к горизонтальной оси; вектор $\vec{I}_m$ направлен под углом $\frac{5\pi}{6}$ к горизонтальной оси. Угол между векторами составляет $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.