Номер 1, страница 45, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

1. Постройте графики $q = q(t)$ и $i = i(t)$ для идеального колебательного контура, если амплитудное значение заряда равно 0,05 Кл, период колебаний заряда равен 0,02 с, начальная фаза колебаний заряда $\phi_0 = \pi/4$.

Дано:

Амплитудное значение заряда, $q_m = 0,05$ Кл

Период колебаний, $T = 0,02$ с

Начальная фаза, $\phi_0 = \pi/4$

Найти:

Построить графики зависимостей $q(t)$ и $i(t)$.

Решение:

1. Уравнение и график для заряда $q(t)$

Колебания заряда в идеальном колебательном контуре описываются уравнением гармонических колебаний:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \phi_0)$

где $q_m$ - амплитуда заряда, $\omega$ - циклическая частота, $\phi_0$ - начальная фаза.

Найдем циклическую частоту $\omega$ через период колебаний $\text{T}$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,02 \text{ с}} = 100\pi$ рад/с.

Подставим известные значения в уравнение для заряда:

$q(t) = 0,05 \cos(100\pi t + \frac{\pi}{4})$ (Кл).

Для построения графика определим его ключевые характеристики:

• Это график косинусоиды.
• Амплитуда: $q_m = 0,05$ Кл. Значения заряда будут лежать в диапазоне от -0,05 до +0,05 Кл.
• Период: $T = 0,02$ с.
• Начальная фаза: $\phi_0 = \pi/4$. Это означает, что график сдвинут влево относительно стандартной косинусоиды.
• Значение в начальный момент времени ($t=0$):

  $q(0) = 0,05 \cos(\frac{\pi}{4}) = 0,05 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,035$ Кл.

2. Уравнение и график для силы тока $i(t)$

Сила тока $i(t)$ является первой производной от заряда $q(t)$ по времени:

$i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt} (q_m \cos(\omega t + \phi_0)) = -q_m \omega \sin(\omega t + \phi_0)$.

Амплитуда силы тока $I_m$ равна:

$I_m = q_m \omega = 0,05 \text{ Кл} \cdot 100\pi \text{ рад/с} = 5\pi$ А.

Приближенное значение амплитуды: $I_m \approx 5 \cdot 3,14 = 15,7$ А.

Подставим значения в уравнение для силы тока:

$i(t) = -5\pi \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4})$ (А).

Чтобы увидеть фазовый сдвиг, преобразуем уравнение к косинусу, используя тригонометрическое тождество $-\sin(\alpha) = \cos(\alpha + \frac{\pi}{2})$:

$i(t) = 5\pi \cos(100\pi t + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}) = 5\pi \cos(100\pi t + \frac{3\pi}{4})$ (А).

Из этого уравнения видно, что колебания силы тока опережают колебания заряда по фазе на $\pi/2$.

Для построения графика определим его ключевые характеристики:

• Это график косинусоиды (или инвертированной синусоиды со сдвигом).
• Амплитуда: $I_m = 5\pi \approx 15,7$ А. Значения силы тока будут лежать в диапазоне от $-5\pi$ до $+5\pi$ А.
• Период: $T = 0,02$ с (такой же, как у заряда).
• Начальная фаза: $\phi_{i0} = 3\pi/4$.
• Значение в начальный момент времени ($t=0$):

  $i(0) = 5\pi \cos(\frac{3\pi}{4}) = 5\pi \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx -11,1$ А.

Ниже представлено словесное описание графиков, которые строятся на основе полученных уравнений и расчетов.

График $q(t)$: Косинусоида с амплитудой 0,05 Кл и периодом 0,02 с. В момент $t=0$ заряд равен $q \approx 0,035$ Кл и продолжает уменьшаться. Он достигает нуля в $t=0,0025$ с, минимального значения -0,05 Кл в $t=0,0075$ с, снова нуля в $t=0,0125$ с и максимального значения 0,05 Кл в $t=0,0175$ с.

График $i(t)$: Косинусоида с амплитудой $5\pi$ А (около 15,7 А) и периодом 0,02 с, опережающая по фазе график заряда на $\pi/2$. В момент $t=0$ сила тока отрицательна и равна $i \approx -11,1$ А. Сила тока достигает своего минимального (наибольшего по модулю отрицательного) значения $-5\pi$ А в $t=0,0025$ с (когда заряд равен нулю и убывает), проходит через ноль в $t=0,0075$ с (когда заряд минимален) и достигает максимального значения $+5\pi$ А в $t=0,0125$ с (когда заряд равен нулю и возрастает).

Ответ: Уравнения для построения графиков имеют вид:

$q(t) = 0,05 \cos(100\pi t + \frac{\pi}{4})$ (Кл)

$i(t) = 5\pi \cos(100\pi t + \frac{3\pi}{4})$ (А) или $i(t) = -5\pi \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4})$ (А).

Графики этих зависимостей - косинусоиды с периодом $T=0,02$ с, амплитудами $q_m = 0,05$ Кл и $I_m = 5\pi$ А соответственно, и начальными фазами $\phi_0 = \pi/4$ и $\phi_{i0} = 3\pi/4$. Колебания тока опережают колебания заряда на $\pi/2$.