Номер 2, страница 50, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Выведите закон изменения ЭДС, индуцируемой во вращающейся в магнитном поле рамке.

2. Решение

Электромагнитная индукция возникает в замкнутом контуре (например, в рамке) при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур. Согласно закону Фарадея, электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}$ равна скорости изменения магнитного потока $\Phi$, взятой со знаком минус: $\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$

Магнитный поток $\Phi$ через плоскую рамку площадью $\text{S}$, помещенную в однородное магнитное поле с индукцией $\text{B}$, определяется формулой: $\Phi = B S \cos\alpha$ где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости рамки.

Рассмотрим рамку, которая вращается в однородном магнитном поле с постоянной угловой скоростью $\omega$. В этом случае угол $\alpha$ будет изменяться со временем по линейному закону. Если в начальный момент времени $t=0$ угол $\alpha=0$ (плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции), то в любой последующий момент времени $\text{t}$ угол будет равен: $\alpha(t) = \omega t$

Подставим это выражение для угла в формулу магнитного потока: $\Phi(t) = B S \cos(\omega t)$

Теперь, чтобы найти закон изменения ЭДС, нужно взять производную от магнитного потока по времени: $\mathcal{E}(t) = -\frac{d}{dt}(B S \cos(\omega t))$

Поскольку величины $\text{B}$ и $\text{S}$ постоянны, их можно вынести за знак производной: $\mathcal{E}(t) = -B S \frac{d}{dt}(\cos(\omega t))$

Производная от функции косинуса $\cos(\omega t)$ по времени $\text{t}$ равна $-\omega \sin(\omega t)$. Следовательно: $\mathcal{E}(t) = -B S (-\omega \sin(\omega t)) = B S \omega \sin(\omega t)$

Это и есть закон изменения ЭДС в рамке, вращающейся в магнитном поле. Величина $B S \omega$ является постоянной и представляет собой амплитудное (максимальное) значение ЭДС, которое обозначается как $\mathcal{E}_{max}$. $\mathcal{E}_{max} = B S \omega$

Тогда закон изменения ЭДС можно записать в виде: $\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$

Если рамка представляет собой катушку, содержащую $\text{N}$ витков, то ЭДС в ней будет в $\text{N}$ раз больше: $\mathcal{E}(t) = N B S \omega \sin(\omega t)$

Ответ: Закон изменения ЭДС, индуцируемой во вращающейся в магнитном поле рамке, имеет вид $\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$, где $\mathcal{E}_{max} = N B S \omega$ — амплитуда ЭДС, $\text{N}$ — число витков в рамке, $\text{B}$ — индукция магнитного поля, $\text{S}$ — площадь рамки, $\omega$ — угловая скорость вращения.