Номер 2, страница 87, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Нагрузка, потребляющая мощность $P = 1 \text{ МВт}$, находится на расстоянии $l = 75 \text{ км}$ от электростанции. Какова должна быть мощность на входе в линию электропередачи, если площадь поперечного сечения медных проводов $S = 16 \text{ мм}^2$? Напряжение на линии $40 \text{ кВ}$, $\cos\phi = 0,63$.

Ответ: 2 МВт.

Дано:

Мощность потребителя (активная): $P = 1 \text{ МВт}$

Расстояние до электростанции: $l = 75 \text{ км}$

Площадь поперечного сечения проводов: $S = 16 \text{ мм}^2$

Напряжение на линии (у потребителя): $U = 40 \text{ кВ}$

Коэффициент мощности: $\cos\phi = 0.63$

Материал проводов - медь, удельное сопротивление меди $\\rho= 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Перевод в систему СИ:

$P = 1 \cdot 10^6 \text{ Вт}$

$l = 75 \cdot 10^3 \text{ м}$

$S = 16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$U = 40 \cdot 10^3 \text{ В}$

Найти:

Мощность на входе в линию электропередачи $P_{вх}$.

Решение:

Мощность, которую необходимо подать на вход линии электропередачи ($P_{вх}$), складывается из мощности, потребляемой нагрузкой ($\text{P}$), и мощности, которая теряется в проводах на нагрев ($\Delta P$):

$P_{вх} = P + \Delta P$

Потери мощности в линии электропередачи определяются по закону Джоуля-Ленца:

$\Delta P = I^2 \cdot R_{линии}$

где $\text{I}$ - сила тока в линии, а $R_{линии}$ - сопротивление проводов.

Силу тока в цепи можно найти из формулы активной мощности у потребителя:

$P = U \cdot I \cdot \cos\phi$

Отсюда выражаем ток:

$I = \frac{P}{U \cdot \cos\phi}$

Вычислим значение тока:

$I = \frac{1 \cdot 10^6 \text{ Вт}}{40 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot 0.63} = \frac{10^6}{25200} \approx 39.68 \text{ А}$

Сопротивление линии электропередачи ($R_{линии}$) зависит от материала проводов, их длины и площади поперечного сечения. Так как линия состоит из двух проводов (прямого и обратного), ее общая длина составляет $2l$.

$R_{линии} = \\rho\frac{2l}{S}$

Вычислим сопротивление линии:

$R_{линии} = 1.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{2 \cdot 75 \cdot 10^3 \text{ м}}{16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{1.7 \cdot 10^{-8} \cdot 150 \cdot 10^3}{16 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} = \frac{2.55 \cdot 10^{-3}}{16 \cdot 10^{-6}} \text{ Ом} \approx 159.4 \text{ Ом}$

Теперь можем рассчитать потери мощности в линии:

$\Delta P = (39.68 \text{ А})^2 \cdot 159.4 \text{ Ом} \approx 1574.5 \cdot 159.4 \text{ Вт} \approx 250963 \text{ Вт} \approx 0.25 \text{ МВт}$

Наконец, найдем мощность на входе в линию:

$P_{вх} = P + \Delta P = 1 \text{ МВт} + 0.25 \text{ МВт} = 1.25 \text{ МВт}$

Примечание: Ответ, приведенный в условии задачи (2 МВт), мог бы получиться, если бы напряжение на линии составляло 20 кВ вместо 40 кВ. При напряжении 20 кВ ток в линии был бы в два раза больше ($I \approx 79.36 \text{ А}$), а потери мощности - в четыре раза больше ($\Delta P \approx 1 \text{ МВт}$), что в сумме с мощностью нагрузки дало бы $P_{вх} = 1 \text{ МВт} + 1 \text{ МВт} = 2 \text{ МВт}$. При заданных в условии параметрах расчет дает другой результат.

Ответ: мощность на входе в линию электропередачи должна быть 1.25 МВт.