Номер 3, страница 127, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Сила тока в открытом колебательном контуре в виде стержня изменяется по закону $I = 400 \cos(2 \cdot 10^8 \pi t)$ (мА). Найдите длину этого стержня.

Ответ: $l = 1,5$ м.

Дано:

Закон изменения силы тока: $I(t) = 400\cos^2(10^8\pi t)$ (мА)

Скорость света в вакууме: $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Длину стержня $\text{l}$.

Решение:

Открытый колебательный контур в виде стержня представляет собой дипольную антенну. Для основного (фундаментального) тона колебаний, который является наиболее эффективным для излучения, длина стержня $\text{l}$ равна половине длины волны $\lambda$ излучаемых электромагнитных волн:

$l = \frac{\lambda}{2}$

Длина волны $\lambda$ связана со скоростью света $\text{c}$ и частотой колебаний $\nu$ соотношением:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Чтобы найти частоту колебаний $\nu$, необходимо проанализировать заданное уравнение для силы тока $I(t)$. Для этого преобразуем его, используя тригонометрическую формулу понижения степени $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 10^8\pi t$. Подставляем в уравнение для тока:

$I(t) = 400 \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot 10^8\pi t)}{2} = 200(1 + \cos(2 \cdot 10^8\pi t))$

$I(t) = 200 + 200\cos(2 \cdot 10^8\pi t)$

Это уравнение описывает колебания тока. Сравним его с общей формой гармонических колебаний: $I(t) = I_{DC} + I_m \cos(\omega t + \phi_0)$. Из сравнения видно, что циклическая (угловая) частота колебаний тока $\omega$ равна:

$\omega = 2 \cdot 10^8\pi$ рад/с

Линейная частота $\nu$ связана с циклической частотой $\omega$ формулой $\omega = 2\pi\nu$. Отсюда выразим и вычислим $\nu$:

$\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2 \cdot 10^8\pi}{2\pi} = 10^8$ Гц

Теперь мы можем рассчитать длину волны излучаемых электромагнитных волн:

$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{10^8 \text{ Гц}} = 3$ м

Наконец, находим длину стержня $\text{l}$, соответствующую основному тону колебаний:

$l = \frac{\lambda}{2} = \frac{3 \text{ м}}{2} = 1.5$ м

Ответ: длина этого стержня равна 1.5 м.