Номер 4, страница 127, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Как обеспечить настройку в резонанс индуктивностью 25 мкГн на длину волны 100 м?

Ответ: необходим конденсатор на 113 пФ.

4. Дано:

Индуктивность, $L = 25$ мкГн

Длина волны, $\lambda = 100$ м

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

$L = 25 \cdot 10^{-6}$ Гн

$\lambda = 100$ м

$c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Емкость конденсатора $\text{C}$.

Решение:

Для настройки колебательного контура в резонанс с электромагнитной волной необходимо, чтобы собственная частота колебаний контура совпадала с частотой волны. Период колебаний контура при резонансе должен быть равен периоду электромагнитной волны.

Период электромагнитной волны $\text{T}$ связан с длиной волны $\lambda$ и скоростью света $\text{c}$ соотношением:

$T = \frac{\lambda}{c}$

Период собственных электромагнитных колебаний в LC-контуре (контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора) определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Приравнивая два выражения для периода, получаем условие резонанса:

$2\pi\sqrt{LC} = \frac{\lambda}{c}$

Для того чтобы найти емкость $\text{C}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\pi\sqrt{LC})^2 = (\frac{\lambda}{c})^2$

$4\pi^2LC = \frac{\lambda^2}{c^2}$

Выразим из этого уравнения искомую емкость конденсатора $\text{C}$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2Lc^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$C = \frac{(100 \text{ м})^2}{4\pi^2 \cdot (25 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}$

$C = \frac{10000}{4\pi^2 \cdot 25 \cdot 10^{-6} \cdot 9 \cdot 10^{16}} = \frac{10^4}{100\pi^2 \cdot 10^{-6} \cdot 9 \cdot 10^{16}}$

$C = \frac{10^4}{900\pi^2 \cdot 10^{10}} = \frac{10^4}{9\pi^2 \cdot 10^{12}} = \frac{1}{9\pi^2} \cdot 10^{-8}$ Ф

Используя $\pi \approx 3.14159$, получаем $\pi^2 \approx 9.8696$.

$C \approx \frac{1}{9 \cdot 9.8696} \cdot 10^{-8} \approx \frac{1}{88.8264} \cdot 10^{-8} \approx 0.011258 \cdot 10^{-8}$ Ф

$C \approx 1.1258 \cdot 10^{-10}$ Ф

Переведем результат в пикофарады (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C = 1.1258 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 112.58 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 113$ пФ

Таким образом, для обеспечения настройки в резонанс необходимо использовать конденсатор с емкостью приблизительно 113 пФ.

Ответ: чтобы обеспечить настройку в резонанс, необходим конденсатор емкостью 113 пФ.