Номер 3, страница 148, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Высота телебашни на горе Коктобе в Алматы составляет 372 м, высота самой горы — 250 м, высота приемной антенны — 10 м, радиус Земли равен 6400 км. На каком расстоянии антенна может принимать сигналы?

Ответ: 100,5 км.

Дано:

Высота телебашни, $h_1 = 372$ м

Высота горы, $h_2 = 250$ м

Высота приемной антенны, $h_{ant} = 10$ м

Радиус Земли, $R = 6400$ км

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Максимальное расстояние $\text{L}$, на котором антенна может принимать сигналы.

Решение:

Максимальное расстояние для приема сигнала ограничено линией прямой видимости и равно сумме расстояний до горизонта от передающей и приемной антенн. Это расстояние называют радиогоризонтом.

Сначала определим полную высоту передающей антенны над уровнем моря. Она складывается из высоты горы и высоты самой телебашни:

$H_1 = h_1 + h_2 = 372 \text{ м} + 250 \text{ м} = 622 \text{ м}$

Высота приемной антенны над поверхностью Земли дана в условии:

$H_2 = h_{ant} = 10 \text{ м}$

Расстояние $\text{d}$ до линии горизонта от точки, находящейся на высоте $\text{H}$ над сферической поверхностью радиусом $\text{R}$, можно найти с помощью теоремы Пифагора. Рассматривается прямоугольный треугольник с вершинами в центре Земли, на вершине антенны и в точке горизонта. Его гипотенуза равна $R+H$, а катеты — $\text{R}$ и $\text{d}$.

$(R+H)^2 = R^2 + d^2$

Раскрывая скобки, получаем: $R^2 + 2RH + H^2 = R^2 + d^2$

$d^2 = 2RH + H^2$

Так как высота антенны $\text{H}$ значительно меньше радиуса Земли ($H \ll R$), членом $H^2$ можно пренебречь. Тогда формула для расстояния до горизонта принимает вид:

$d \approx \sqrt{2RH}$

Полное расстояние прямой видимости $\text{L}$ равно сумме расстояний до горизонта от передатчика ($L_1$) и приемника ($L_2$):

$L = L_1 + L_2 = \sqrt{2RH_1} + \sqrt{2RH_2}$

Подставим числовые значения в метрах:

$L = \sqrt{2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 622} + \sqrt{2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \cdot 10}$

$L = \sqrt{7961.6 \cdot 10^6} + \sqrt{128 \cdot 10^6}$

$L = \sqrt{7961.6} \cdot 10^3 + \sqrt{128} \cdot 10^3$

$L \approx 89.228 \cdot 10^3 + 11.314 \cdot 10^3 \text{ (м)}$

$L \approx (89.228 + 11.314) \cdot 10^3 \text{ м} = 100.542 \cdot 10^3 \text{ м}$

Переведем результат в километры:

$L \approx 100.542 \text{ км}$

Сравнивая с ответом, приведенным в задаче, округлим до одного знака после запятой.

Ответ: $100.5$ км.