Номер 6, страница 149, часть 1 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

6. Антенна радиолокатора корабля расположена на высоте 25 м над уровнем моря. На каком максимальном расстоянии радиолокатор может обнаружить спасательный плот? С какой частотой при этом излучаются импульсы?

Ответ: 18 км; $8,3 \cdot 10^3 \text{ Гц}$.

Дано:

Высота антенны, $h = 25$ м

Радиус Земли, $R \approx 6400$ км

Скорость света в вакууме (и в воздухе), $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

$R = 6400 \text{ км} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Максимальное расстояние обнаружения, $d_{max}$ — ?

Частота излучения импульсов, $\text{f}$ — ?

Решение:

На каком максимальном расстоянии радиолокатор может обнаружить спасательный плот?

Максимальное расстояние прямой видимости для радиолокатора ограничено кривизной земной поверхности. Предполагается, что спасательный плот находится на уровне моря, то есть его собственная высота равна нулю. Расстояние до радиогоризонта можно рассчитать, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный центром Земли, точкой расположения антенны и точкой на горизонте (местоположением плота). Катетами этого треугольника являются радиус Земли $\text{R}$ и искомое расстояние $d_{max}$, а гипотенузой — сумма радиуса Земли и высоты антенны $(R+h)$. По теореме Пифагора:

$(R+h)^2 = R^2 + d_{max}^2$

Раскроем скобки:

$R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + d_{max}^2$

Отсюда выразим $d_{max}^2$:

$d_{max}^2 = 2Rh + h^2$

Так как высота антенны $\text{h}$ значительно меньше радиуса Земли $\text{R}$ ($h \ll R$), то слагаемым $h^2$ можно пренебречь по сравнению с $2Rh$. Тогда формула для максимальной дальности видимости упрощается:

$d_{max} \approx \sqrt{2Rh}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$d_{max} \approx \sqrt{2 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} \cdot 25 \text{ м}} = \sqrt{320 \cdot 10^6} \text{ м} \approx 17888 \text{ м} \approx 17,9 \text{ км}$.

Результат вычислений, округленно, составляет 18 км, что совпадает с приведенным в условии ответом. Небольшое расхождение может быть связано с использованием более точного значения радиуса Земли или учётом атмосферной рефракции, которая немного увеличивает дальность радиогоризонта.

Ответ: $18 \text{ км}$.

С какой частотой при этом излучаются импульсы?

Частота повторения импульсов радиолокатора ($\text{f}$) определяет его максимальную однозначно измеряемую дальность. Чтобы отраженный от цели сигнал успел вернуться к антенне до посылки следующего импульса, период следования импульсов $\text{T}$ должен быть не меньше, чем время $\Delta t$, за которое сигнал проходит двойное расстояние до цели ($2d_{max}$).

$\Delta t = \frac{2d_{max}}{c}$

Таким образом, для максимальной дальности $d_{max}$ период $\text{T}$ равен этому времени:

$T = \frac{2d_{max}}{c}$

Частота $\text{f}$ — это величина, обратная периоду:

$f = \frac{1}{T} = \frac{c}{2d_{max}}$

Подставим значения, используя $d_{max} = 18 \text{ км} = 18 \cdot 10^3 \text{ м}$ из первой части задачи:

$f = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 18 \cdot 10^3 \text{ м}} = \frac{3 \cdot 10^8}{36 \cdot 10^3} \text{ Гц} = \frac{1}{12} \cdot 10^5 \text{ Гц} \approx 0,08333 \cdot 10^5 \text{ Гц} \approx 8333 \text{ Гц}$.

Запишем ответ в стандартном виде с двумя значащими цифрами, как в условии:

$f \approx 8,3 \cdot 10^3 \text{ Гц}$.

Ответ: $8,3 \cdot 10^3 \text{ Гц}$.