Номер 4, страница 21, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Найдите массу атома водорода. Считайте, что протон и электрон находятся в состоянии покоя на расстоянии радиуса Бора. Сравните массу атома водорода с атомной единицей массы.

Ответ: $m_p + m_e - 0,3 \cdot 10^{-34}$ кг.

Дано:

Система: атом водорода (протон $\text{p}$ и электрон $\text{e}$)

Состояние: частицы покоятся

Расстояние между частицами: $r = a_0$ (радиус Бора)

Масса протона: $m_p \approx 1,67262 \times 10^{-27}$ кг

Масса электрона: $m_e \approx 9,10938 \times 10^{-31}$ кг

Радиус Бора: $a_0 \approx 5,29177 \times 10^{-11}$ м

Элементарный заряд: $e \approx 1,60218 \times 10^{-19}$ Кл

Постоянная Кулона: $k \approx 8,98755 \times 10^9$ Н·м²/Кл²

Скорость света: $c \approx 2,99792 \times 10^8$ м/с

Атомная единица массы: $1 \text{ а.е.м.} \approx 1,66054 \times 10^{-27}$ кг

Найти:

$m_H$ - массу атома водорода, и сравнить $m_H$ с 1 а.е.м.

Решение:

Масса системы связана с ее полной энергией $\text{E}$ соотношением $E = mc^2$. Полная энергия атома водорода $E_H$ в предложенной модели (покоящиеся протон и электрон) равна сумме их энергий покоя ($m_p c^2$ и $m_e c^2$) и потенциальной энергии их электростатического взаимодействия $\text{U}$.

$E_H = m_p c^2 + m_e c^2 + U$

Потенциальная энергия $\text{U}$ для протона (заряд $+e$) и электрона (заряд $-e$) на расстоянии $r = a_0$ равна:

$U = k \frac{(+e)(-e)}{a_0} = -k \frac{e^2}{a_0}$

Следовательно, полная энергия и масса $m_H = E_H/c^2$ атома водорода определяются выражениями:

$E_H = (m_p + m_e)c^2 - k \frac{e^2}{a_0}$

$m_H = m_p + m_e - \frac{k e^2}{a_0 c^2}$

Величина $\Delta m = \frac{k e^2}{a_0 c^2}$ называется дефектом массы. Она показывает, насколько масса связанной системы меньше суммы масс её составляющих. Вычислим значение дефекта массы:

$\Delta m = \frac{(8,98755 \times 10^9) \times (1,60218 \times 10^{-19})^2}{(5,29177 \times 10^{-11}) \times (2,99792 \times 10^8)^2} \approx 4,8504 \times 10^{-35}$ кг

Теперь вычислим массу атома водорода:

$m_H = (1,67262 \times 10^{-27} + 9,10938 \times 10^{-31}) - 4,8504 \times 10^{-35}$ кг

$m_H \approx 1,6735309 \times 10^{-27} - 0,0000485 \times 10^{-27} \approx 1,6734824 \times 10^{-27}$ кг

Теперь сравним полученную массу с атомной единицей массы:

$m_H \approx 1,67348 \times 10^{-27}$ кг

$1 \text{ а.е.м.} \approx 1,66054 \times 10^{-27}$ кг

Видно, что $m_H > 1 \text{ а.е.м.}$.

Найдем их отношение:

$\frac{m_H}{1 \text{ а.е.м.}} = \frac{1,67348 \times 10^{-27}}{1,66054 \times 10^{-27}} \approx 1,0078$

Масса атома водорода, рассчитанная в рамках данной модели, больше атомной единицы массы примерно на 0,78%.

Ответ: Масса атома водорода в данной модели равна $m_H = m_p + m_e - \frac{k e^2}{a_0 c^2} \approx 1,67348 \times 10^{-27}$ кг. Эта масса больше атомной единицы массы: $m_H \approx 1,0078$ а.е.м.