Творческое задание, страница 20, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

В системе GPS для определения точных координат проводятся вычисления с помощью теории относительности. Почему используется такой метод?

Использование вычислений на основе теории относительности в системе GPS является не просто теоретическим уточнением, а абсолютной необходимостью для ее функционирования. Причина кроется в самом принципе работы GPS и двух эффектах, предсказанных Альбертом Эйнштейном.

Система GPS определяет местоположение путем измерения времени, за которое радиосигнал доходит от нескольких спутников до приемника. Расстояние до спутника вычисляется по формуле $ S = c \cdot t $, где $ c $ — скорость света, а $ t $ — время прохождения сигнала. Для высокой точности определения координат требуется чрезвычайно точное измерение времени. Однако, согласно теории относительности, ход времени не абсолютен и зависит от скорости и гравитации, а спутники GPS подвержены влиянию обоих факторов.

Рассмотрим эти эффекты подробнее:

1. Эффект Специальной теории относительности (СТО). Спутники GPS движутся по орбите со скоростью около 14 000 км/ч относительно Земли. Согласно СТО, чем выше скорость объекта, тем медленнее для него течет время по сравнению с неподвижным наблюдателем. Из-за этого эффекта атомные часы на борту спутников GPS отстают от часов на Земле примерно на 7 микросекунд ($ 7 \times 10^{-6} $ с) в сутки.

2. Эффект Общей теории относительности (ОТО). Спутники находятся на высоте около 20 200 км, где гравитационное поле Земли значительно слабее, чем на ее поверхности. ОТО утверждает, что время в более слабом гравитационном поле течет быстрее. Из-за этого эффекта часы на спутниках, наоборот, опережают земные примерно на 45 микросекунд ($ 45 \times 10^{-6} $ с) в сутки.

Суммарный эффект. Оба эффекта действуют одновременно, но эффект ОТО (ускорение времени) оказывается сильнее эффекта СТО (замедление времени). Суммарное расхождение составляет $ 45 \text{ мкс} - 7 \text{ мкс} = 38 \text{ мкс} $ в сутки. Это означает, что если бы инженеры не учитывали теорию относительности, часы на каждом спутнике "убегали" бы вперед на 38 микросекунд каждый день.

Эта, казалось бы, ничтожная погрешность имела бы катастрофические последствия. Ошибка во времени в 38 микросекунд приводила бы к ежедневной ошибке в определении расстояния, равной:

$ \Delta S = c \cdot \Delta t = (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (38 \cdot 10^{-6} \text{ с}) \approx 11400 \text{ м} \approx 11,4 \text{ км} $

Таким образом, без учета релятивистских поправок навигационная ошибка GPS нарастала бы со скоростью более 11 километров в день, делая систему абсолютно бесполезной. Чтобы этого избежать, бортовые часы спутников специально настраиваются на Земле так, чтобы они шли с другой скоростью, которая после выхода на орбиту и под воздействием релятивистских эффектов синхронизируется с земным временем.

Ответ:

Такой метод используется потому, что работа системы GPS требует высочайшей точности измерения времени. Согласно теории относительности, ход времени для спутников изменяется из-за их высокой скорости (время замедляется) и нахождения в более слабом гравитационном поле (время ускоряется). Суммарный эффект приводит к тому, что часы на спутниках без коррекции опережали бы земные на 38 микросекунд в сутки. Это, в свою очередь, приводило бы к ежедневной ошибке в определении местоположения более чем на 10 километров. Таким образом, учет релятивистских эффектов является не теоретической формальностью, а ключевым условием для работоспособности и точности системы GPS.