Номер 8, страница 20, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

8. Может ли релятивистская инертная масса электрона быть больше массы протона?

8. Да, релятивистская инертная масса электрона может быть больше массы покоя протона. Это следует из специальной теории относительности.

Релятивистская масса $\text{m}$ частицы, движущейся со скоростью $\text{v}$, связана с её массой покоя $m_0$ следующим соотношением:

$m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $\text{c}$ — скорость света в вакууме.

Масса покоя электрона ($m_{0e}$) и масса покоя протона ($m_{0p}$) являются фундаментальными константами:

$m_{0e} \approx 9.109 \times 10^{-31}$ кг

$m_{0p} \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг

Масса покоя протона примерно в 1836 раз больше массы покоя электрона.

Из формулы для релятивистской массы видно, что когда скорость частицы $\text{v}$ приближается к скорости света $\text{c}$, знаменатель $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ стремится к нулю. Следовательно, релятивистская масса $\text{m}$ стремится к бесконечности. Это означает, что, разогнав электрон до скорости, очень близкой к скорости света, его релятивистская масса может стать сколь угодно большой.

Чтобы релятивистская масса электрона $m_e$ превысила массу покоя протона $m_{0p}$, должно выполняться условие:

$\frac{m_{0e}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} > m_{0p}$

Найдем скорость $\text{v}$, при которой их массы равны:

$\frac{m_{0e}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = m_{0p}$

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_{0e}}{m_{0p}}$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_{0e}}{m_{0p}}\right)^2$

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{m_{0e}}{m_{0p}}\right)^2$

$v = c \sqrt{1 - \left(\frac{m_{0e}}{m_{0p}}\right)^2}$

Так как $\frac{m_{0e}}{m_{0p}} \approx \frac{1}{1836}$, то $\left(\frac{m_{0e}}{m_{0p}}\right)^2$ — очень малая величина. Скорость $\text{v}$ будет очень близка к скорости света $\text{c}$.

$v \approx c \sqrt{1 - \left(\frac{1}{1836}\right)^2} \approx c \sqrt{1 - 2.97 \times 10^{-7}} \approx 0.99999985 c$

Если скорость электрона будет больше этого значения, его релятивистская масса будет больше массы покоя протона. Такие скорости достижимы в современных ускорителях частиц.

Ответ: Да, релятивистская масса электрона может быть больше массы протона, если электрон движется со скоростью, очень близкой к скорости света.