Номер 3, страница 88, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Найдите длину волны электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов $U= 51 \text{ В}$.

Ответ: $172 \text{ пм}$.

Дано:

Ускоряющая разность потенциалов $U = 51 \text{ В}$

Постоянная Планка $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$

Масса электрона $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг}$

Заряд электрона $e \approx 1.602 \times 10^{-19} \text{ Кл}$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Длину волны электрона $\lambda$.

Решение:

Согласно гипотезе де Бройля, любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами. Длина волны, связанная с частицей (длина волны де Бройля), определяется формулой:

$\lambda = \frac{h}{p}$, где $\text{h}$ – постоянная Планка, а $\text{p}$ – импульс частицы.

Импульс $\text{p}$ и кинетическая энергия $E_k$ связаны соотношением $E_k = \frac{p^2}{2m}$, где $\text{m}$ – масса частицы. Отсюда можно выразить импульс: $p = \sqrt{2mE_k}$.

Подставив это в формулу для длины волны, получим:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e E_k}}$

Когда электрон проходит ускоряющую разность потенциалов $\text{U}$, электрическое поле совершает над ним работу $A = eU$, которая полностью переходит в кинетическую энергию электрона (при условии, что начальная скорость равна нулю). Таким образом, $E_k = eU$.

Объединим формулы, подставив выражение для кинетической энергии в формулу для длины волны:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_e eU}}$

Подставим числовые значения физических величин в полученную формулу:

$\lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot (9.11 \times 10^{-31}) \cdot (1.602 \times 10^{-19}) \cdot 51}}$

Вычислим значение знаменателя:

$\sqrt{2 \cdot 9.11 \cdot 1.602 \cdot 51 \cdot 10^{-31} \cdot 10^{-19}} = \sqrt{1488.5 \times 10^{-50}} \approx 3.858 \times 10^{-24} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Теперь рассчитаем длину волны:

$\lambda \approx \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.858 \times 10^{-24}} \approx 1.717 \times 10^{-10} \text{ м}$

Переведем метры в пикометры, зная, что $1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$:

$\lambda = 1.717 \times 10^{-10} \text{ м} = 171.7 \times 10^{-12} \text{ м} \approx 172 \text{ пм}$

Ответ: $\lambda \approx 172 \text{ пм}$.