Номер 4, страница 89, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Чему равна релятивистская масса электрона, длина волны которого равна 4,20 пм?

Ответ: $10,5 \cdot 10^{-31}$ кг.

Дано:

Длина волны де Бройля электрона, $\lambda = 4,20 \text{ пм}$

Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Масса покоя электрона, $m_0 \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Переведем длину волны в систему СИ:

$\lambda = 4,20 \text{ пм} = 4,20 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Найти:

Релятивистская масса электрона, $\text{m}$

Решение:

Для нахождения релятивистской массы электрона воспользуемся корпускулярно-волновыми свойствами частиц и основными положениями специальной теории относительности.

1. Длина волны де Бройля $\lambda$ связана с релятивистским импульсом частицы $\text{p}$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{h}{p}$

Из этой формулы мы можем выразить импульс электрона:

$p = \frac{h}{\lambda}$

2. Согласно специальной теории относительности, полная энергия частицы $\text{E}$ связана с ее релятивистской массой $\text{m}$ формулой Эйнштейна:

$E = mc^2$

3. Существует также фундаментальное соотношение, связывающее полную энергию $\text{E}$, импульс $\text{p}$ и массу покоя $m_0$ частицы:

$E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$

Чтобы найти релятивистскую массу $\text{m}$, мы можем объединить эти уравнения. Возведем в квадрат формулу для энергии $E = mc^2$ и приравняем ее к третьему выражению:

$(mc^2)^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2$

$m^2c^4 = p^2c^2 + m_0^2c^4$

Теперь подставим в это уравнение выражение для импульса $p = h/\lambda$:

$m^2c^4 = (\frac{h}{\lambda})^2c^2 + m_0^2c^4$

Для того чтобы выразить $\text{m}$, разделим все члены уравнения на $c^4$:

$m^2 = \frac{h^2}{\lambda^2c^2} + m_0^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем итоговую формулу для релятивистской массы:

$m = \sqrt{(\frac{h}{\lambda c})^2 + m_0^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:

$m = \sqrt{(\frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{4,20 \cdot 10^{-12} \cdot 3,00 \cdot 10^8})^2 + (9,11 \cdot 10^{-31})^2}$

Сначала вычислим выражение в скобках:

$\frac{6,626 \cdot 10^{-34}}{12,6 \cdot 10^{-4}} \approx 0,5259 \cdot 10^{-30} \text{ кг}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для массы:

$m = \sqrt{(0,5259 \cdot 10^{-30})^2 + (9,11 \cdot 10^{-31})^2}$

Чтобы упростить вычисления, приведем оба слагаемых под корнем к одному порядку ($10^{-30}$):

$m = \sqrt{(0,5259 \cdot 10^{-30})^2 + (0,911 \cdot 10^{-30})^2}$

Возведем числа в квадрат:

$m = \sqrt{0,2765 \cdot 10^{-60} + 0,8299 \cdot 10^{-60}}$

Сложим значения в скобках:

$m = \sqrt{(0,2765 + 0,8299) \cdot 10^{-60}} = \sqrt{1,1064 \cdot 10^{-60}}$

Извлечем квадратный корень:

$m = \sqrt{1,1064} \cdot \sqrt{10^{-60}} \approx 1,0518 \cdot 10^{-30} \text{ кг}$

Для соответствия с форматом ответа в задании, представим результат с множителем $10^{-31}$:

$m \approx 10,518 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем итоговый результат:

$m \approx 10,5 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Ответ: $10,5 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$.