Номер 5, страница 89, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*5. Вычислите длину волны де Бройля протона с кинетической энергией $E_k = 100 \text{ эВ}$. Масса протона — $1,67 \cdot 10^{-27} \text{ кг}$.

Ответ: 2,86 пм.

Дано:

Кинетическая энергия протона $E_k = 100$ эВ

Масса протона $m_p = 1.67 \cdot 10^{-27}$ кг

Перевод данных в систему СИ:

Для перевода кинетической энергии из электрон-вольт (эВ) в джоули (Дж) используем соотношение $1 \text{ эВ} \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$.

$E_k = 100 \text{ эВ} = 100 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.602 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}$

Масса уже дана в единицах СИ.

Найти:

Длину волны де Бройля $\lambda$.

Решение:

Длина волны де Бройля $\lambda$ связана с импульсом частицы $\text{p}$ следующим соотношением:

$\lambda = \frac{h}{p}$

где $h \approx 6.626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с — постоянная Планка.

Импульс $\text{p}$ нерелятивистской частицы связан с ее кинетической энергией $E_k$ и массой $\text{m}$. Формула кинетической энергии:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Умножим числитель и знаменатель на массу $\text{m}$:

$E_k = \frac{m^2v^2}{2m}$

Поскольку импульс $p = mv$, то $p^2 = m^2v^2$. Подставим это в выражение для энергии:

$E_k = \frac{p^2}{2m}$

Отсюда выразим импульс:

$p = \sqrt{2mE_k}$

Теперь подставим полученное выражение для импульса в формулу длины волны де Бройля:

$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_pE_k}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}}{\sqrt{2 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot 1.602 \cdot 10^{-17} \text{ Дж}}}$

Выполним вычисления:

$\lambda = \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{5.351 \cdot 10^{-44}}} \text{ м}$

$\lambda \approx \frac{6.626 \cdot 10^{-34}}{2.313 \cdot 10^{-22}} \text{ м}$

$\lambda \approx 2.864 \cdot 10^{-12} \text{ м}$

Переведем результат в пикометры (пм), зная, что $1 \text{ пм} = 10^{-12} \text{ м}$.

$\lambda \approx 2.86 \text{ пм}$

Ответ: $2.86 \text{ пм}$.