Номер 3, страница 107, часть 2 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Однозарядный ион цезия массой 133 а.е.м., предварительно ускоренный в электрическом поле с напряжением 2000 В, движется в однородном магнитном поле масс-спектрографа. Если индукция магнитного поля 0,25 Тл, определите радиус окружности, по которой движется ион.

Ответ: 29,6 см.

Дано:

Масса иона цезия, $m_{ion} = 133$ а.е.м.

Заряд иона, $q = e$ (однозарядный)

Ускоряющее напряжение, $U = 2000$ В

Индукция магнитного поля, $B = 0,25$ Тл

Константы:

Атомная единица массы, 1 а.е.м. $\approx 1,6605 \cdot 10^{-27}$ кг

Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$m = 133 \cdot 1,6605 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \approx 2,2085 \cdot 10^{-25} \text{ кг}$

$q = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$U = 2000 \text{ В}$

$B = 0,25 \text{ Тл}$

Найти:

Радиус окружности, $\text{R}$ - ?

Решение

Сначала ион ускоряется в электрическом поле. Работа электрического поля $\text{A}$ идет на увеличение кинетической энергии иона $E_k$. Будем считать, что начальная скорость иона равна нулю.

Работа электрического поля по перемещению заряда $\text{q}$ в поле с разностью потенциалов $\text{U}$ определяется формулой:

$A = qU$

Кинетическая энергия иона, приобретенная после ускорения:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Согласно теореме о кинетической энергии, работа поля равна изменению кинетической энергии:

$qU = \frac{mv^2}{2}$

Отсюда можно выразить скорость иона $\text{v}$, с которой он влетает в магнитное поле:

$v^2 = \frac{2qU}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Далее ион влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и начинает двигаться по окружности. На него действует сила Лоренца $F_L$, которая является центростремительной силой $F_c$.

Сила Лоренца: $F_L = qvB$ (так как угол между скоростью и индукцией поля прямой, $\sin\alpha = 1$).

Центростремительная сила: $F_c = \frac{mv^2}{R}$.

Приравниваем эти две силы:

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения выразим радиус окружности $\text{R}$:

$R = \frac{mv^2}{qvB} = \frac{mv}{qB}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для скорости $\text{v}$, которое мы нашли ранее:

$R = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Упростим выражение, внеся множитель под корень:

$R = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{m^2}{q^2} \cdot \frac{2qU}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mU}{q}}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$R = \frac{1}{0,25} \sqrt{\frac{2 \cdot 2,2085 \cdot 10^{-25} \text{ кг} \cdot 2000 \text{ В}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}}$

$R = 4 \cdot \sqrt{\frac{8,834 \cdot 10^{-22}}{1,602 \cdot 10^{-19}}} \text{ м}$

$R = 4 \cdot \sqrt{5,514 \cdot 10^{-3}} \text{ м}$

$R \approx 4 \cdot 0,07426 \text{ м}$

$R \approx 0,297 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$R \approx 0,297 \cdot 100 \text{ см} \approx 29,7 \text{ см}$

Полученный результат незначительно отличается от ответа в задаче (29,6 см), что может быть связано с округлением констант, используемых в учебнике.

Ответ: $R \approx 29,7 \text{ см}$.