Номер 3, страница 39 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. Сколько витков имеет рамка площадью $S = 500 \text{ см}^2$, если при вращении ее с частотой $V = 20 \text{ Гц}$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,1 \text{ Тл}$ индуцируется ЭДС, амплитуда которой равна $63 \text{ В}$?

Ответ: 100.

Дано:

Площадь рамки $S = 500 \text{ см}^2$

Частота вращения $\nu = 20 \text{ Гц}$

Индукция магнитного поля $B = 0,1 \text{ Тл}$

Амплитуда ЭДС $\mathcal{E}_{max} = 63 \text{ В}$

Перевод в систему СИ:

$S = 500 \text{ см}^2 = 500 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 500 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,05 \text{ м}^2$

Найти:

Число витков $\text{N}$

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем. Магнитный поток $Φ$ через рамку, состоящую из $\text{N}$ витков, определяется выражением:

$Φ = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\text{B}$ и нормалью к плоскости рамки.

Рамка вращается с постоянной частотой $\nu$, поэтому угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha(t) = \omega t$, где $\omega$ — угловая частота. Угловая частота связана с циклической частотой соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Тогда зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$Φ(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(2\pi\nu t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, индуцируемая в рамке ЭДС $\mathcal{E}$ равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{dΦ}{dt} = -\frac{d}{dt}(NBS\cos(2\pi\nu t))$

Вычисляя производную, получаем:

$\mathcal{E}(t) = -NBS(-\sin(2\pi\nu t) \cdot 2\pi\nu) = NBS \cdot 2\pi\nu \cdot \sin(2\pi\nu t)$

Амплитуда ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$, — это максимальное значение $\mathcal{E}(t)$, которое достигается, когда $\sin(2\pi\nu t) = 1$. Таким образом:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega = N \cdot B \cdot S \cdot 2\pi\nu$

Из этой формулы выразим искомое число витков $\text{N}$:

$N = \frac{\mathcal{E}_{max}}{B \cdot S \cdot 2\pi\nu}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$N = \frac{63}{0,1 \cdot 0,05 \cdot 2\pi \cdot 20} = \frac{63}{0,1 \cdot 0,05 \cdot 40\pi} = \frac{63}{0,2\pi}$

Примем значение $\pi \approx 3,14$:

$N \approx \frac{63}{0,2 \cdot 3,14} = \frac{63}{0,628} \approx 100,3$

Число витков должно быть целым числом, поэтому округляем полученный результат.

Ответ: $N = 100$.