Номер 5, страница 39 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

*5. Проволочное кольцо радиусом $r = 10 \text{ см}$ находится в магнитном поле, индукция которого со временем изменяется по закону $B = 0,04 \cos 5\pi t$. Плоскость кольца образует с линиями индукции магнитного поля угол $\alpha = 45^\circ$. Напишите закон изменения ЭДС, индуцируемой в кольце, и определите ее максимальное значение.

Ответ: $\mathcal{E} = 0,014 \sin 5\pi t \text{ (В)}; \mathcal{E}_m = 14 \text{ мВ}.$

Дано:

Радиус кольца, $r = 10 \text{ см}$
Закон изменения магнитной индукции, $B(t) = 0,04 \cos(5\pi t) \text{ Тл}$
Угол между плоскостью кольца и линиями индукции, $\alpha = 45^\circ$

Перевод в систему СИ:

$r = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Закон изменения ЭДС, $\mathcal{E}(t) - ?$
Максимальное значение ЭДС, $\mathcal{E}_m - ?$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, определяется законом электромагнитной индукции Фарадея: $$ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} $$ где $\Phi$ – магнитный поток, пронизывающий контур.

Магнитный поток $\Phi$ через плоский контур площадью $\text{S}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$ равен: $$ \Phi = B \cdot S \cdot \cos\theta $$ где $\theta$ – угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью (перпендикуляром) $\vec{n}$ к плоскости контура.

По условию задачи, угол между плоскостью кольца и линиями индукции равен $\alpha = 45^\circ$. Угол $\theta$ между нормалью к плоскости и линиями индукции связан с углом $\alpha$ соотношением $\theta = 90^\circ - \alpha$. $$ \theta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $$

Площадь проволочного кольца (круга) радиусом $\text{r}$ вычисляется по формуле: $$ S = \pi r^2 = \pi (0,1 \text{ м})^2 = 0,01\pi \text{ м}^2 $$

Теперь запишем закон изменения магнитного потока через кольцо во времени: $$ \Phi(t) = B(t) \cdot S \cdot \cos\theta = (0,04 \cos(5\pi t)) \cdot (0,01\pi) \cdot \cos(45^\circ) $$ Подставив значение $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получим: $$ \Phi(t) = 0,04 \cdot 0,01\pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(5\pi t) = 0,0002\pi\sqrt{2} \cos(5\pi t) $$

Для нахождения ЭДС индукции $\mathcal{E}(t)$ возьмем производную от магнитного потока $\Phi(t)$ по времени $\text{t}$ со знаком минус: $$ \mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt} (0,0002\pi\sqrt{2} \cos(5\pi t)) $$ Используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos(\omega t))' = -\omega \sin(\omega t)$, где циклическая частота $\omega = 5\pi$: $$ \mathcal{E}(t) = - (0,0002\pi\sqrt{2}) \cdot (-5\pi \sin(5\pi t)) $$ $$ \mathcal{E}(t) = 0,001\pi^2\sqrt{2} \sin(5\pi t) $$

Полученное выражение имеет вид $\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_m \sin(\omega t)$, где $\mathcal{E}_m$ – максимальное (амплитудное) значение ЭДС. $$ \mathcal{E}_m = 0,001\pi^2\sqrt{2} $$ Подставим численные значения $\pi \approx 3,14159$ и $\sqrt{2} \approx 1,41421$: $$ \mathcal{E}_m \approx 0,001 \cdot (3,14159)^2 \cdot 1,41421 \approx 0,001 \cdot 9,8696 \cdot 1,41421 \approx 0,01396 \text{ В} $$ Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем $\mathcal{E}_m \approx 0,014 \text{ В}$.

Таким образом, закон изменения ЭДС имеет вид: $$ \mathcal{E}(t) \approx 0,014 \sin(5\pi t) \text{ (В)} $$ Максимальное значение ЭДС равно: $$ \mathcal{E}_m \approx 0,014 \text{ В} = 14 \text{ мВ} $$

Ответ: Закон изменения ЭДС: $\mathcal{E} = 0,014 \sin(5\pi t)$ (В); максимальное значение ЭДС: $\mathcal{E}_m = 14$ мВ.