Номер 4, страница 73 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

4. Плотность энергии электромагнитной волны в определенной пространственной точке в заданный момент времени $u = 5,2 \text{ мкДж/м}^3$. Оцените значения модулей в тот же момент времени и в той же точке, полагая, что $e_0 \approx 8,9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф/м}$, $\mu_0 = 1,3 \cdot 10^{-6} \text{ Гн/м}$.

Ответ: $2,6 \text{ мкТл}; 0,76 \text{ кВ/м}$.

Дано:

Плотность энергии электромагнитной волны $w = 5,2 \text{ мкДж/м}^3$

Электрическая постоянная (согласно условию) $\epsilon \approx 8,9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф/м}$

Магнитная постоянная (согласно условию) $\mu = 1,3 \cdot 10^{-6} \text{ Гн/м}$

Переведем данные в систему СИ:

$w = 5,2 \text{ мкДж/м}^3 = 5,2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж/м}^3$

Остальные величины уже даны в единицах СИ.

Найти:

Модуль напряженности электрического поля $\text{E}$

Модуль магнитной индукции $\text{B}$

Решение:

Плотность энергии электромагнитной волны $\text{w}$ в любой точке пространства и в любой момент времени складывается из плотности энергии электрического поля $w_E$ и плотности энергии магнитного поля $w_B$:

$w = w_E + w_B$

Плотности энергии электрического и магнитного полей определяются формулами:

$w_E = \frac{\epsilon E^2}{2}$

$w_B = \frac{B^2}{2\mu}$

В электромагнитной волне энергии электрического и магнитного полей равны в любой момент времени: $w_E = w_B$.

Следовательно, полную плотность энергии можно выразить через напряженность только электрического или только магнитного поля:

$w = 2w_E = 2 \cdot \frac{\epsilon E^2}{2} = \epsilon E^2$

$w = 2w_B = 2 \cdot \frac{B^2}{2\mu} = \frac{B^2}{\mu}$

Из этих соотношений выразим искомые величины $\text{E}$ и $\text{B}$:

$E = \sqrt{\frac{w}{\epsilon}}$

$B = \sqrt{w \cdot \mu}$

Рассчитаем сначала модуль магнитной индукции $\text{B}$, используя данные из условия:

$B = \sqrt{5,2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж/м}^3 \cdot 1,3 \cdot 10^{-6} \text{ Гн/м}} = \sqrt{6,76 \cdot 10^{-12}} \text{ Тл} = 2,6 \cdot 10^{-6} \text{ Тл} = 2,6 \text{ мкТл}$

Полученное значение для $\text{B}$ полностью совпадает с ответом, приведенным в задаче.

Теперь рассчитаем модуль напряженности электрического поля $\text{E}$, используя значение $\epsilon = 8,9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф/м}$ из условия:

$E = \sqrt{\frac{5,2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж/м}^3}{8,9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф/м}}} \approx \sqrt{0,584 \cdot 10^5} \text{ В/м} \approx \sqrt{58400} \text{ В/м} \approx 242 \text{ В/м}$

Этот результат ($242 \text{ В/м}$) не совпадает с ответом из условия ($0,76 \text{ кВ/м} = 760 \text{ В/м}$). Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка в показателе степени у значения электрической постоянной $\epsilon$. Стандартное значение электрической постоянной для вакуума составляет $\epsilon_0 \approx 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$. Если предположить, что в условии должно было быть значение $\epsilon = 8,9 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$, то расчет даст верный ответ:

$E = \sqrt{\frac{5,2 \cdot 10^{-6} \text{ Дж/м}^3}{8,9 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}}} = \sqrt{\frac{5,2}{8,9} \cdot 10^6} \text{ В/м} \approx \sqrt{0,58427} \cdot 10^3 \text{ В/м} \approx 0,7644 \cdot 10^3 \text{ В/м} \approx 764 \text{ В/м}$

Переводя в киловольты на метр, получаем:

$764 \text{ В/м} \approx 0,76 \text{ кВ/м}$

Это значение совпадает с ответом, приведенным в задаче.

Ответ: $B = 2,6 \text{ мкТл}; E \approx 0,76 \text{ кВ/м}$.