Номер 2, страница 73 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

2. Допустимая объемная плотность энергии электромагнитной волны $2,2 \cdot 10^{-10}$ Дж/м³. Найдите максимальную напряженность электрического поля волны в воздухе и ее интенсивность.

Ответ: 5 В/м; $6,6 \cdot 10^{-2}$ Вт/м².

Дано:

Допустимая объемная плотность энергии электромагнитной волны $w_{доп} = 2.2 \cdot 10^{-10}$ Дж/м³.

Волна распространяется в воздухе, поэтому скорость волны принимаем равной скорости света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с, а диэлектрическую проницаемость среды — равной электрической постоянной $\epsilon \approx \epsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.

Данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$E_{max}$ — максимальную напряженность электрического поля.

$\text{I}$ — интенсивность волны.

Решение:

Мгновенная объемная плотность энергии электромагнитной волны $\text{w}$ складывается из плотностей энергии электрического ($w_E$) и магнитного ($w_B$) полей. Для волны в вакууме или воздухе эти энергии равны, поэтому полная мгновенная плотность энергии выражается через напряженность электрического поля $\text{E}$ как:

$w = w_E + w_B = 2w_E = 2 \cdot \frac{\epsilon_0 E^2}{2} = \epsilon_0 E^2$

Под "допустимой объемной плотностью энергии" будем понимать ее максимальное (амплитудное) значение $w_{max}$, которое достигается, когда напряженность электрического поля достигает своей амплитуды $E_{max}$.

$w_{max} = \epsilon_0 E_{max}^2$

Отсюда можем найти максимальную напряженность электрического поля:

$E_{max} = \sqrt{\frac{w_{max}}{\epsilon_0}}$

Подставим числовые значения:

$E_{max} = \sqrt{\frac{2.2 \cdot 10^{-10} \text{ Дж/м}^3}{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}}} \approx \sqrt{24.86 \frac{\text{В}^2}{\text{м}^2}} \approx 4.99$ В/м.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $E_{max} \approx 5.0$ В/м.

Интенсивность электромагнитной волны $\text{I}$ — это средняя мощность излучения, проходящая через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Она связана со средней по времени объемной плотностью энергии $\langle w \rangle$ и скоростью распространения волны $\text{c}$:

$I = \langle w \rangle c$

Средняя объемная плотность энергии $\langle w \rangle$ в два раза меньше ее максимального значения $w_{max}$, так как среднее значение квадрата косинуса (или синуса) за период равно $1/2$.

$\langle w \rangle = \frac{1}{2} w_{max} = \frac{1}{2} \cdot \epsilon_0 E_{max}^2$

Вычислим среднюю плотность энергии:

$\langle w \rangle = \frac{1}{2} \cdot 2.2 \cdot 10^{-10} \text{ Дж/м}^3 = 1.1 \cdot 10^{-10} \text{ Дж/м}^3$

Теперь найдем интенсивность волны:

$I = (1.1 \cdot 10^{-10} \text{ Дж/м}^3) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) = 3.3 \cdot 10^{-2}$ Вт/м².

Ответ: Максимальная напряженность электрического поля волны составляет $E_{max} \approx 5.0$ В/м, а ее интенсивность $I = 3.3 \cdot 10^{-2}$ Вт/м².