Номер 12, страница 134 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

12. Расстояние между точечным источником и экраном 3 м. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение предмета при двух его положениях, расстояние между которыми равно 1 м. Найдите фокусное расстояние линзы.

Ответ: 0,67 м.

Дано:

Расстояние между источником и экраном $L = 3$ м.

Расстояние между двумя положениями линзы $l = 1$ м.

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Фокусное расстояние линзы $\text{F}$.

Решение:

Этот метод определения фокусного расстояния известен как метод Бесселя. Он основан на свойстве обратимости световых лучей.

Пусть $\text{L}$ — расстояние от источника до экрана. Линзу помещают между ними. Существует два положения линзы, при которых на экране получается резкое изображение.

Пусть в первом положении расстояние от источника до линзы равно $d_1$, а от линзы до экрана — $f_1$. Тогда выполняется условие:

$d_1 + f_1 = L$

Формула тонкой линзы для этого случая:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}$

Из-за принципа обратимости световых лучей, если мы поменяем местами источник и его изображение, ход лучей будет симметричен. Это означает, что если мы найдем второе положение линзы, дающее четкое изображение, то для него расстояние от источника до линзы будет $d_2 = f_1$, а расстояние от линзы до экрана $f_2 = d_1$.

Расстояние $\text{l}$, на которое перемещают линзу, — это разница между двумя положениями линзы, то есть разница между расстояниями от источника до линзы в этих двух случаях:

$l = |d_2 - d_1| = |f_1 - d_1|$

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения $d_1$ и $f_1$:

$d_1 + f_1 = L$

$|f_1 - d_1| = l$

Раскроем модуль (порядок не важен, так как $d_1$ и $f_1$ взаимозаменяемы, пусть $f_1 > d_1$):

$f_1 - d_1 = l$

Сложим первое уравнение со вторым:

$(d_1 + f_1) + (f_1 - d_1) = L + l$

$2f_1 = L + l \implies f_1 = \frac{L + l}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(d_1 + f_1) - (f_1 - d_1) = L - l$

$2d_1 = L - l \implies d_1 = \frac{L - l}{2}$

Теперь подставим полученные выражения для $d_1$ и $f_1$ в формулу тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{\frac{L - l}{2}} + \frac{1}{\frac{L + l}{2}} = \frac{2}{L - l} + \frac{2}{L + l}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{1}{F} = \frac{2(L + l) + 2(L - l)}{(L - l)(L + l)} = \frac{2L + 2l + 2L - 2l}{L^2 - l^2} = \frac{4L}{L^2 - l^2}$

Из этого выражения получаем окончательную формулу для фокусного расстояния:

$F = \frac{L^2 - l^2}{4L}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$L = 3$ м, $l = 1$ м.

$F = \frac{3^2 - 1^2}{4 \cdot 3} = \frac{9 - 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ м.

Переводя в десятичную дробь, получаем:

$F \approx 0,667$ м.

Округляя до сотых, как в ответе из условия, получаем 0,67 м.

Ответ: $F = \frac{2}{3}$ м $\approx 0,67$ м.