Номер 9, страница 134 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

9. На экране с помощью тонкой линзы получено изображение предмета с увеличением 2. Предмет передвинули на 1 см. Для того чтобы получить четкое изображение, пришлось передвинуть экран. При этом увеличение оказалось равным 4. На какое расстояние передвинули экран?

Ответ: 8 см.

Дано:

Начальное увеличение, $\Gamma_1 = 2$
Смещение предмета, $\Delta d_{obj} = 1 \text{ см}$
Конечное увеличение, $\Gamma_2 = 4$

Найти:

Смещение экрана, $\Delta f - ?$

Решение:

Поскольку изображение получено на экране, оно является действительным, а линза — собирающей. Для решения задачи воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой для линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $, где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения (экрана).

Формула линейного увеличения для действительного изображения: $ \Gamma = \frac{f}{d} $.

Рассмотрим состояние системы до и после перемещения предмета.

1. Начальное положение
Пусть $d_1$ — начальное расстояние от предмета до линзы, а $f_1$ — начальное расстояние от линзы до экрана.
Согласно условию, начальное увеличение $ \Gamma_1 = 2 $.
Из формулы увеличения: $ \Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} = 2 $, что означает $ f_1 = 2d_1 $.
Подставим это соотношение в формулу тонкой линзы: $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{2d_1} = \frac{2+1}{2d_1} = \frac{3}{2d_1} $.

2. Конечное положение
Увеличение возросло с 2 до 4. Для собирающей линзы и действительного изображения это означает, что предмет был придвинут ближе к линзе (но остался за фокусом).
Новое расстояние от предмета до линзы: $ d_2 = d_1 - \Delta d_{obj} = d_1 - 1 \text{ см} $.
Пусть $f_2$ — новое расстояние от линзы до экрана.
Новое увеличение $ \Gamma_2 = 4 $.
Из формулы увеличения: $ \Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2} = 4 $, что означает $ f_2 = 4d_2 $.
Подставляем в формулу тонкой линзы (фокусное расстояние $\text{F}$ не изменилось): $ \frac{1}{F} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{d_2} + \frac{1}{4d_2} = \frac{4+1}{4d_2} = \frac{5}{4d_2} $.

3. Составление и решение системы уравнений
Мы получили два выражения для величины $1/F$, которая является постоянной. Приравняем их: $ \frac{3}{2d_1} = \frac{5}{4d_2} $.
Подставим в это уравнение выражение для $d_2 = d_1 - 1$: $ \frac{3}{2d_1} = \frac{5}{4(d_1 - 1)} $.
Решим полученное уравнение относительно $d_1$: $ 3 \cdot 4(d_1 - 1) = 5 \cdot 2d_1 $
$ 12(d_1 - 1) = 10d_1 $
$ 12d_1 - 12 = 10d_1 $
$ 2d_1 = 12 $
$ d_1 = 6 \text{ см} $.

4. Расчет смещения экрана
Теперь, зная $d_1$, мы можем найти начальное и конечное расстояния до экрана ($f_1$ и $f_2$).
Начальное расстояние до экрана: $ f_1 = 2d_1 = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} $.
Найдем конечное расстояние до предмета: $ d_2 = d_1 - 1 = 6 - 1 = 5 \text{ см} $.
Конечное расстояние до экрана: $ f_2 = 4d_2 = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см} $.
Смещение экрана $\Delta f$ равно разности конечного и начального расстояний от линзы до экрана. Поскольку $f_2 > f_1$, экран пришлось отодвинуть от линзы. $ \Delta f = f_2 - f_1 = 20 \text{ см} - 12 \text{ см} = 8 \text{ см} $.

Ответ: 8 см.