Номер 3, страница 132 - гдз по физике 11 класс учебник Туякбаев, Насохова

3. В каком случае высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей в линзе.

Ответ: когда тело находится на расстоянии $\text{2F}$ от линзы.

Высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета в том случае, когда предмет находится на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию линзы ($d=2F$). В этом случае изображение будет действительным, перевёрнутым и равным по величине предмету. Оно также будет находиться на двойном фокусном расстоянии с другой стороны линзы.

Докажем это утверждение с помощью формулы тонкой линзы и формулы линейного увеличения.

Формула тонкой линзы имеет вид: $$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} $$ где $\text{F}$ — фокусное расстояние линзы, $\text{d}$ — расстояние от предмета до линзы, $\text{f}$ — расстояние от линзы до изображения.

Линейное увеличение линзы $\Gamma$ — это отношение высоты изображения $\text{H}$ к высоте предмета $\text{h}$: $$ \Gamma = \frac{H}{h} $$ Также увеличение можно выразить через расстояния $\text{d}$ и $\text{f}$: $$ \Gamma = \frac{f}{d} $$

По условию, высота изображения должна быть равна высоте предмета, т.е. $H = h$. Это означает, что линейное увеличение должно быть равно 1: $$ \Gamma = \frac{H}{h} = 1 $$

Из формулы увеличения следует, что если $\Gamma = 1$, то $f/d = 1$, а значит $f = d$.

Теперь подставим это равенство ($f = d$) в формулу тонкой линзы: $$ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d} = \frac{2}{d} $$

Из этого уравнения выразим расстояние до предмета $\text{d}$: $$ d = 2F $$

Таким образом, для получения изображения, равного по высоте предмету, предмет необходимо расположить на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы.

Пояснение построением хода световых лучей:

Для построения изображения предмета в собирающей линзе, когда он находится в точке $2F$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить главную оптическую ось и перпендикулярно ей расположить собирающую линзу с оптическим центром в точке О.

2. Отметить по обе стороны от линзы главный фокус $\text{F}$ и двойное фокусное расстояние $2F$.

3. Поместить предмет (например, стрелку AB) в точку $2F$ перпендикулярно главной оптической оси.

4. Построить ход двух лучей, исходящих из верхней точки предмета (точки B):
- Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе пройдёт через её задний фокус $\text{F}$.
- Луч, проходящий через оптический центр линзы О, не изменит своего направления.

5. Точка пересечения этих двух лучей после линзы (B') даст изображение верхней точки предмета.

6. Опустив перпендикуляр из точки B' на главную оптическую ось, получим изображение предмета A'B'.

В результате построения видно, что изображение A'B' находится на расстоянии $2F$ от линзы с другой стороны ($f=2F$), оно является действительным, перевёрнутым и, что самое главное, его высота равна высоте предмета ($H=h$). Это следует из симметрии построения и подобия треугольников: треугольник, образованный предметом и лучом, идущим через центр линзы, равен треугольнику, образованному изображением и тем же лучом, так как расстояния до линзы $\text{d}$ и от линзы $\text{f}$ равны ($d=f=2F$).

Ответ: Высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета, когда предмет находится на расстоянии, равном двойному фокусному расстоянию ($2F$) от линзы.