Номер 1, страница 340 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 90. Термоядерные реакции. Глава 12. Физика атомного ядра - номер 1, страница 340.

Условие.

Как посчитать потенциальную энергию взаимодействия ядер водорода, находящихся на расстоянии, равном размеру атома? Чему должна быть равна кинетическая энергия ядра, чтобы преодолеть кулоновское отталкивание?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$q_1, q_2$ - заряды ядер водорода (протонов)
$r$ - расстояние между ядрами, равное размеру атома водорода (боровскому радиусу)
$k$ - постоянная Кулона

$q_1 = q_2 = e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
$r = a_0 \approx 5.3 \cdot 10^{-11} \text{ м}$
$k \approx 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$

Найти:

$W_p$ - потенциальная энергия взаимодействия ядер.
$W_k$ - кинетическая энергия, необходимая для преодоления кулоновского отталкивания.

Решение:

Как посчитать потенциальную энергию взаимодействия ядер водорода, находящихся на расстоянии, равном размеру атома?

Ядро атома водорода — это протон, который имеет положительный элементарный заряд $e$. Два таких ядра, являясь одноименно заряженными частицами, отталкиваются друг от друга. Потенциальная энергия их электростатического (кулоновского) взаимодействия $W_p$ определяется формулой для двух точечных зарядов:

$W_p = k \frac{q_1 q_2}{r}$

В данном случае заряды ядер одинаковы и равны $q_1 = q_2 = e$. Расстояние $r$ между ними по условию равно размеру атома водорода, в качестве которого обычно принимают боровский радиус $a_0$. Таким образом, формула принимает вид:

$W_p = k \frac{e^2}{r}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$W_p = (9 \cdot 10^9 \, \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot \frac{(1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Кл})^2}{5.3 \cdot 10^{-11} \, \text{м}} = (9 \cdot 10^9) \cdot \frac{2.56 \cdot 10^{-38}}{5.3 \cdot 10^{-11}} \, \text{Дж} \approx 4.35 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}$

В атомной и ядерной физике энергию часто выражают в электрон-вольтах (эВ). Зная, что $1 \, \text{эВ} \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Дж}$, переведем полученное значение:

$W_p \approx \frac{4.35 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}}{1.6 \cdot 10^{-19} \, \text{Дж/эВ}} \approx 27.2 \, \text{эВ}$

Ответ: Потенциальную энергию взаимодействия можно посчитать по формуле кулоновского взаимодействия для точечных зарядов $W_p = k \frac{e^2}{r}$. При расстоянии, равном размеру атома водорода, она составляет примерно $4.35 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}$ или $27.2 \, \text{эВ}$.

Чему должна быть равна кинетическая энергия ядра, чтобы преодолеть кулоновское отталкивание?

Чтобы сблизить два одноименно заряженных ядра на определенное расстояние, необходимо совершить работу против сил кулоновского отталкивания. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии системы. Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия ядер должна быть достаточной, чтобы полностью перейти в потенциальную энергию в точке максимального сближения.

Таким образом, для того чтобы ядра смогли сблизиться на расстояние $r$, их суммарная начальная кинетическая энергия $W_k$ (при условии, что вначале они были на бесконечно большом расстоянии друг от друга и их потенциальная энергия $W_{p, \text{начальная}} \approx 0$) должна быть не меньше, чем их потенциальная энергия $W_p$ на расстоянии $r$. В момент максимального сближения их относительная скорость становится равной нулю, и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную:

$W_k = W_p$

Следовательно, необходимая кинетическая энергия равна значению потенциальной энергии, рассчитанной в предыдущем пункте.

$W_k = W_p \approx 4.35 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж} \approx 27.2 \, \text{эВ}$

Стоит отметить, что это суммарная кинетическая энергия системы из двух ядер. Если рассматривать лобовое столкновение двух одинаковых ядер, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, то на каждое ядро будет приходиться половина этой энергии ($13.6 \, \text{эВ}$).

Ответ: Кинетическая энергия системы из двух ядер, необходимая для их сближения на расстояние, равное размеру атома, должна быть равна потенциальной энергии их взаимодействия на этом расстоянии, то есть примерно $4.35 \cdot 10^{-18} \, \text{Дж}$ ($27.2 \, \text{эВ}$).