Номер 3, страница 343 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Какая энергия выделяется при захвате электрона ядром бериллия:

$^{7}_{4}\text{Be}(7,016930) + ^{0}_{-1}\text{e} \to ^{7}_{3}\text{Li}(7,016005) + \nu?$

В скобках указаны атомные массы (в а. е. м.).

Дано:

Реакция электронного захвата: ${}^7_4\text{Be} + {}^{0}_{-1}e \rightarrow {}^7_3\text{Li} + \nu$

Атомная масса бериллия-7: $M_{at}({}^7_4\text{Be}) = 7,016930 \text{ а. е. м.}$

Атомная масса лития-7: $M_{at}({}^7_3\text{Li}) = 7,016005 \text{ а. е. м.}$

Энергетический эквивалент атомной единицы массы: $1 \text{ а. е. м.} \cdot c^2 \approx 931,5 \text{ МэВ}$

Перевод всех данных в систему СИ:

$1 \text{ а. е. м.} = 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг}$

$M_{at}({}^7_4\text{Be}) = 7,016930 \times 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1,16520 \times 10^{-26} \text{ кг}$

$M_{at}({}^7_3\text{Li}) = 7,016005 \times 1,66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1,16505 \times 10^{-26} \text{ кг}$

Скорость света в вакууме: $c \approx 2,998 \times 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Выделившаяся энергия $E$.

Решение:

Энергия, выделяющаяся в ядерной реакции, определяется дефектом масс $\Delta m$ в соответствии с формулой Эйнштейна о связи массы и энергии:

$E = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммарной массой частиц до реакции и суммарной массой частиц после реакции.

$\Delta m = m_{до} - m_{после}$

В реакции электронного захвата ядро захватывает один из электронов своей электронной оболочки. Таким образом, до реакции мы имеем ядро бериллия ${}^7_4\text{Be}$ и электрон $e^-$. После реакции образуется ядро лития ${}^7_3\text{Li}$ и испускается электронное нейтрино $\nu_e$. Массой нейтрино можно пренебречь, так как она чрезвычайно мала.

$\Delta m = (m_{ядра}({}^7_4\text{Be}) + m_e) - m_{ядра}({}^7_3\text{Li})$

В задаче даны массы нейтральных атомов, а не ядер. Связь между массой атома $M_{at}$ и массой ядра $m_{ядра}$ для элемента с зарядовым числом $Z$ имеет вид (пренебрегая энергией связи электронов, которая мала по сравнению с ядерными энергиями):

$m_{ядра} = M_{at} - Z \cdot m_e$

Для бериллия ($Z=4$): $m_{ядра}({}^7_4\text{Be}) = M_{at}({}^7_4\text{Be}) - 4m_e$

Для лития ($Z=3$): $m_{ядра}({}^7_3\text{Li}) = M_{at}({}^7_3\text{Li}) - 3m_e$

Подставим эти выражения в формулу для дефекта масс:

$\Delta m = (M_{at}({}^7_4\text{Be}) - 4m_e + m_e) - (M_{at}({}^7_3\text{Li}) - 3m_e)$

$\Delta m = M_{at}({}^7_4\text{Be}) - 3m_e - M_{at}({}^7_3\text{Li}) + 3m_e$

$\Delta m = M_{at}({}^7_4\text{Be}) - M_{at}({}^7_3\text{Li})$

Таким образом, для расчета дефекта масс при электронном захвате достаточно найти разность атомных масс исходного и конечного элементов.

Вычислим дефект масс в атомных единицах массы (а. е. м.):

$\Delta m = 7,016930 \text{ а. е. м.} - 7,016005 \text{ а. е. м.} = 0,000925 \text{ а. е. м.}$

Теперь найдем выделившуюся энергию, используя энергетический эквивалент 1 а. е. м., который составляет приблизительно 931,5 МэВ.

$E = \Delta m \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.}$

$E = 0,000925 \text{ а. е. м.} \cdot 931,5 \text{ МэВ/а.е.м.} \approx 0,8615625 \text{ МэВ}$

Округлим результат до трех значащих цифр.

$E \approx 0,862 \text{ МэВ}$

Ответ: $E \approx 0,862 \text{ МэВ}$.