Страница 97 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Может ли амплитуда силы тока при резонансе превысить силу постоянного тока в цепи с таким же активным сопротивлением и постоянным напряжением, равным амплитуде переменного напряжения?

Рассмотрим две цепи, о которых идет речь в вопросе, и сравним силу тока в них.

Сначала рассмотрим цепь постоянного тока. В этой цепи есть источник постоянного напряжения $U_{пост}$ и активное сопротивление $R$. Согласно закону Ома для участка цепи, сила постоянного тока $I_{пост}$ определяется как: $I_{пост} = \frac{U_{пост}}{R}$

Теперь рассмотрим цепь переменного тока, в которой наблюдается резонанс. Такая цепь должна содержать, помимо активного сопротивления $R$, еще и реактивные элементы — катушку индуктивности $L$ и конденсатор $C$. К цепи приложено переменное напряжение, амплитуда которого равна $U_m$. Полное сопротивление цепи переменного тока, или импеданс $Z$, вычисляется по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ где $\omega$ — это циклическая частота переменного тока. Амплитуда силы тока $I_m$ связана с амплитудой напряжения $U_m$ и импедансом $Z$ соотношением, которое является аналогом закона Ома для цепей переменного тока: $I_m = \frac{U_m}{Z}$

Резонанс в RLC-цепи наступает при такой частоте $\omega$, когда реактивное сопротивление цепи становится равным нулю. Это происходит, когда индуктивное сопротивление $\omega L$ полностью компенсируется емкостным сопротивлением $\frac{1}{\omega C}$. $\omega L - \frac{1}{\omega C} = 0$ В этом случае импеданс цепи $Z$ принимает свое минимальное значение, которое равно активному сопротивлению $R$: $Z_{рез} = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ Соответственно, амплитуда силы тока при резонансе $I_{m, рез}$ будет максимальной и равной: $I_{m, рез} = \frac{U_m}{Z_{рез}} = \frac{U_m}{R}$

Теперь проведем сравнение. По условию задачи, активное сопротивление $R$ в обеих цепях одинаково, а постоянное напряжение $U_{пост}$ равно амплитуде переменного напряжения $U_m$. $U_{пост} = U_m$ Следовательно, мы можем сравнить выражения для $I_{пост}$ и $I_{m, рез}$: $I_{пост} = \frac{U_{пост}}{R}$
$I_{m, рез} = \frac{U_m}{R}$
Поскольку правые части этих выражений равны ($U_{пост} = U_m$ и $R = R$), то равны и их левые части: $I_{m, рез} = I_{пост}$

Таким образом, амплитуда силы тока при резонансе не может превысить силу постоянного тока при заданных условиях; она в точности ей равна.

Ответ: нет, не может. Амплитуда силы тока при резонансе равна силе постоянного тока в цепи с таким же активным сопротивлением и постоянным напряжением, равным амплитуде переменного напряжения.

2. Чему равна разность фаз между колебаниями силы тока и напряжения при резонансе?

2. Найти:

Разность фаз $\phi$ между колебаниями силы тока и напряжения при резонансе.

Решение:

Резонанс в электрической цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор (C), наступает при такой частоте переменного тока, при которой реактивное сопротивление цепи равно нулю. Это происходит, когда индуктивное сопротивление $X_L$ становится равным ёмкостному сопротивлению $X_C$.

Индуктивное сопротивление определяется формулой: $X_L = \omega L$, где $\omega$ — циклическая частота, $L$ — индуктивность.

Ёмкостное сопротивление определяется формулой: $X_C = \frac{1}{\omega C}$, где $C$ — ёмкость.

Условие резонанса в последовательном RLC-контуре: $X_L = X_C$.

Сдвиг фаз $\phi$ между напряжением и током в такой цепи определяется соотношением:

$\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}$

где $R$ — активное сопротивление цепи.

При выполнении условия резонанса ($X_L = X_C$), разность реактивных сопротивлений обращается в нуль:

$X_L - X_C = 0$

Подставляя это в формулу для тангенса сдвига фаз, получаем:

$\tan(\phi) = \frac{0}{R} = 0$

Отсюда следует, что угол сдвига фаз $\phi$ равен нулю.

Таким образом, при резонансе колебания силы тока и напряжения в цепи совпадают по фазе. Цепь ведет себя как чисто активная нагрузка, её полное сопротивление (импеданс) минимально и равно активному сопротивлению $Z=R$.

Ответ: При резонансе разность фаз между колебаниями силы тока и напряжения равна нулю.

3. При каком условии резонансные свойства контура выражены наиболее отчётливо?

3. Решение

Резонансные свойства колебательного контура — это его способность избирательно отзываться на колебания определённой частоты. Наиболее ярко это свойство проявляется в явлении резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний силы тока (или напряжения) в контуре достигает максимального значения. Это происходит, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой колебаний контура.

Степень "остроты" или отчётливости резонанса характеризуется специальной безразмерной величиной — добротностью контура ($Q$). Чем выше добротность, тем ýже и выше резонансный пик на графике зависимости амплитуды от частоты, и, следовательно, тем отчётливее выражены резонансные свойства.

Добротность последовательного RLC-контура определяется отношением реактивного сопротивления (на резонансной частоте) к активному сопротивлению. Формула для добротности выглядит так:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
где:
$R$ — активное сопротивление контура (сопротивление проводов катушки, потерь в конденсаторе и т.д.),
$L$ — индуктивность катушки,
$C$ — ёмкость конденсатора,
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ — резонансная угловая частота.

Из формулы видно, что добротность $Q$ обратно пропорциональна активному сопротивлению $R$. Активное сопротивление в контуре является причиной потерь энергии (затухания колебаний), так как на нём электрическая энергия необратимо превращается в тепловую. Чем меньше эти потери, тем дольше могут продолжаться свободные колебания в контуре и тем сильнее отклик системы на резонансной частоте.

Таким образом, условием наиболее отчётливо выраженных резонансных свойств является максимальная добротность, которая достигается при минимальном активном сопротивлении контура.

Ответ: Резонансные свойства контура выражены наиболее отчётливо при условии, что активное сопротивление контура является очень малым (в идеале, стремится к нулю).