Страница 95 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Подумайте, как объяснить, что при равенстве ёмкостного и индуктивного сопротивлений колебания тока и напряжения источника происходят в фазе.

Решение

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую последовательно соединенные резистор (активное сопротивление $R$), катушку индуктивности (индуктивное сопротивление $X_L$) и конденсатор (ёмкостное сопротивление $X_C$).

Каждый из реактивных элементов (катушка и конденсатор) вносит сдвиг фаз между током в цепи и напряжением на этом элементе. Напряжение на катушке индуктивности опережает ток по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (90°). Напряжение на конденсаторе, наоборот, отстаёт от тока по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (90°). Это означает, что напряжения на катушке и конденсаторе находятся в противофазе друг к другу (сдвиг фаз между ними составляет $\pi$ или 180°). Напряжение же на активном сопротивлении $R$ всегда совпадает по фазе с током.

Общий сдвиг фаз $\phi$ между напряжением источника и током во всей цепи определяется соотношением активного и полного реактивного сопротивления ($X_L - X_C$). Он находится по формуле:
$\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}$
где $X_L = \omega L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ – ёмкостное сопротивление ($\omega$ – циклическая частота переменного тока).

По условию, ёмкостное и индуктивное сопротивления равны:
$X_L = X_C$
Это явление называется резонансом напряжений.

Подставим это условие в формулу для сдвига фаз:
$\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0}{R} = 0$
Уравнение $\tan(\phi) = 0$ имеет решение $\phi = 0$.
Нулевой сдвиг фаз как раз и означает, что колебания тока и напряжения источника происходят в одной фазе.

Физический смысл этого заключается в следующем. При равенстве $X_L = X_C$ амплитуды напряжений на катушке ($U_{L_m} = I_m \cdot X_L$) и на конденсаторе ($U_{C_m} = I_m \cdot X_C$) становятся равными. Поскольку эти напряжения, как было сказано, находятся в противофазе, они в любой момент времени полностью компенсируют друг друга. Векторная сумма напряжений на реактивных элементах равна нулю: $\vec{U_L} + \vec{U_C} = 0$. В результате полное напряжение на зажимах цепи (напряжение источника) становится равным напряжению на активном сопротивлении: $\vec{U} = \vec{U_R}$. А так как на активном сопротивлении колебания тока и напряжения всегда синфазны, то и во всей цепи при резонансе ток и напряжение источника совпадают по фазе.

Ответ: При равенстве ёмкостного и индуктивного сопротивлений ($X_L = X_C$) в цепи переменного тока наступает резонанс. При этом напряжения на катушке и конденсаторе равны по величине, но противоположны по фазе, из-за чего они взаимно компенсируются. В результате цепь ведет себя как чисто активная нагрузка (сопротивление $R$), а в такой нагрузке колебания тока и напряжения всегда совпадают по фазе. Математически это следует из формулы сдвига фаз $\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}$, которая при $X_L = X_C$ даёт $\tan(\phi) = 0$, откуда сдвиг фаз $\phi = 0$.

1. Как связаны между собой действующие значения силы тока и напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока?

В цепи переменного тока, содержащей конденсатор, напряжение $u(t)$ и сила тока $i(t)$ изменяются со временем по гармоническому закону. Связь между их действующими (эффективными) значениями можно установить, рассмотрев их мгновенные значения.

Пусть напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

$ u(t) = U_m \sin(\omega t) $

где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота переменного тока.

Заряд на обкладках конденсатора в любой момент времени $t$ связан с напряжением соотношением:

$ q(t) = C \cdot u(t) = C U_m \sin(\omega t) $

где $C$ — электроемкость конденсатора.

Сила тока в цепи по определению является скоростью изменения заряда, то есть производной заряда по времени:

$ i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt} (C U_m \sin(\omega t)) = \omega C U_m \cos(\omega t) $

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$, преобразуем выражение для силы тока:

$ i(t) = \omega C U_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) $

Из этого выражения видно, что колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°). Амплитудное значение силы тока $I_m$ равно:

$ I_m = \omega C U_m $

Из этого соотношения можно выразить связь между амплитудами тока и напряжения, которая напоминает закон Ома:

$ U_m = I_m \cdot \frac{1}{\omega C} $

Величина $X_C = \frac{1}{\omega C}$ называется емкостным сопротивлением. Оно характеризует сопротивление, которое конденсатор оказывает переменному току, и измеряется в Омах (Ом).

Действующие (или среднеквадратичные) значения силы тока $I$ и напряжения $U$ связаны с их амплитудными значениями $I_m$ и $U_m$ следующими соотношениями:

$ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $ и $ U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} $

Подставим выражения для амплитуд ($I_m = \sqrt{2}I$ и $U_m = \sqrt{2}U$) в формулу $U_m = I_m \cdot X_C$:

$ \sqrt{2}U = (\sqrt{2}I) \cdot X_C $

Сократив множитель $\sqrt{2}$, получаем искомое соотношение для действующих значений, известное как закон Ома для участка цепи с конденсатором:

$ U = I \cdot X_C \quad \text{или} \quad I = \frac{U}{X_C} $

Подставляя выражение для емкостного сопротивления, получаем окончательную связь между действующими значениями силы тока и напряжения на конденсаторе:

$ I = \frac{U}{\frac{1}{\omega C}} = U \omega C $

Таким образом, действующее значение силы тока в цепи с конденсатором прямо пропорционально действующему значению напряжения на нем, а также прямо пропорционально циклической частоте тока и емкости конденсатора.

Ответ: Действующие значения силы тока $I$ и напряжения $U$ на конденсаторе в цепи переменного тока связаны соотношением, аналогичным закону Ома: $I = \frac{U}{X_C}$, где $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление. Здесь $\omega = 2\pi f$ — циклическая частота переменного тока, $f$ — его частота, а $C$ — электроемкость конденсатора. Следовательно, действующая сила тока прямо пропорциональна действующему напряжению ($I \propto U$), частоте тока ($I \propto f$) и емкости конденсатора ($I \propto C$).

2. Выделяется ли энергия в цепи, содержащей только конденсатор, если активным сопротивлением цепи можно пренебречь?

2. Решение

В идеальной цепи переменного тока, содержащей только конденсатор, активное сопротивление $R$ считается равным нулю. В такой цепи энергия не выделяется в виде тепла, а происходит обмен энергией между источником тока и конденсатором.

Процесс можно описать следующим образом:

1. В течение четверти периода, когда напряжение на конденсаторе растет, он заряжается, накапливая энергию в своем электрическом поле. Энергия, запасенная в конденсаторе, определяется формулой $W = \frac{C U^2}{2}$.
2. В течение следующей четверти периода напряжение падает, и конденсатор разряжается, полностью возвращая накопленную энергию обратно в источник.

Таким образом, происходит непрерывная циркуляция энергии без ее потерь (рассеивания).

С точки зрения математики, средняя мощность (активная мощность), выделяемая в цепи за период, рассчитывается по формуле: $P = U_{eff} I_{eff} \cos \varphi$ где $U_{eff}$ и $I_{eff}$ — действующие (среднеквадратичные) значения напряжения и силы тока, а $\varphi$ — сдвиг фаз между ними.

В цепи с идеальным конденсатором ток опережает напряжение по фазе на $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан. Следовательно, сдвиг фаз $\varphi = \frac{\pi}{2}$.

Найдем косинус этого угла: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Тогда активная мощность в цепи равна: $P = U_{eff} I_{eff} \cdot 0 = 0$

Нулевая активная мощность означает, что в среднем за период энергия в цепи не выделяется.

Ответ: Нет, в цепи, содержащей только идеальный конденсатор, энергия не выделяется. Происходит лишь обмен энергией между источником и конденсатором.

3. Выключатель цепи представляет собой своего рода конденсатор. Почему же выключатель надёжно размыкает цепь?

Решение

Разомкнутый выключатель действительно можно представить как конденсатор, где его металлические контакты выступают в роли обкладок, а воздушный зазор между ними — в роли диэлектрика. Однако выключатель надёжно размыкает цепь благодаря тому, что электрическая ёмкость такого «конденсатора» пренебрежимо мала.

Ёмкость плоского конденсатора определяется по формуле: $C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$ где $S$ — площадь взаимного перекрытия обкладок (контактов), $d$ — расстояние между ними, $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды (для воздуха $\varepsilon \approx 1$), а $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная.

В конструкции выключателя расстояние между разомкнутыми контактами ($d$) делается достаточно большим, а площадь контактов ($S$) относительно мала. Оба этих фактора приводят к тому, что ёмкость ($C$) оказывается ничтожно малой величиной.

Рассмотрим влияние этого факта на цепи с разными видами тока:

1. В цепи постоянного тока конденсатор является разрывом. Ток через него протекает лишь в краткий момент зарядки, после чего полностью прекращается. Поскольку ёмкость выключателя очень мала, он заряжается практически мгновенно, надёжно блокируя дальнейшее движение зарядов.
2. В цепи переменного тока конденсатор оказывает току сопротивление, называемое ёмкостным реактансом ($X_C$). Оно вычисляется по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ где $f$ — частота переменного тока.

Так как ёмкость ($C$) выключателя чрезвычайно мала ($C \to 0$), его ёмкостное сопротивление ($X_C$) оказывается огромным ($X_C \to \infty$). Согласно закону Ома для цепи переменного тока, сила тока $I = U/Z$, где $Z$ — полное сопротивление (импеданс). В нашем случае импеданс практически полностью определяется огромным ёмкостным сопротивлением. В результате ток в цепи становится настолько малым, что им можно пренебречь.

Ответ:

Выключатель надёжно размыкает цепь, поскольку его ёмкость как конденсатора ничтожно мала из-за большого зазора и малой площади контактов. В цепи постоянного тока конденсатор не пропускает ток (является разрывом). В цепи переменного тока из-за крайне малой ёмкости ($C$) его ёмкостное сопротивление ($X_C = 1/(2\pi f C)$) становится огромным, что практически полностью блокирует протекание тока.

4. Как связаны между собой действующие значения силы тока и напряжения на катушке индуктивности, активным сопротивлением которой можно пренебречь?

Решение

В цепи переменного тока, содержащей идеальную катушку индуктивности (активным сопротивлением которой можно пренебречь), связь между действующими (эффективными) значениями напряжения $U$ и силы тока $I$ устанавливается через величину, называемую индуктивным сопротивлением $X_L$. Эта связь аналогична закону Ома для участка цепи.

Индуктивное сопротивление $X_L$ — это мера противодействия, которое катушка индуктивности оказывает переменному току. Оно зависит от двух параметров: индуктивности самой катушки $L$ и угловой частоты переменного тока $\omega$. Угловая частота связана с обычной циклической частотой $f$ соотношением $\omega = 2\pi f$.

Формула для индуктивного сопротивления имеет вид:
$X_L = \omega L$

Связь между действующими значениями напряжения и силы тока на катушке индуктивности выражается следующей формулой, которая является аналогом закона Ома:
$U = I \cdot X_L$

Если объединить эти два выражения, можно получить полную зависимость напряжения от силы тока, частоты и индуктивности:
$U = I \cdot \omega L$

Таким образом, действующее значение напряжения на идеальной катушке индуктивности прямо пропорционально действующему значению силы тока, проходящего через нее. Коэффициентом пропорциональности является индуктивное сопротивление $X_L$, которое, в свою очередь, прямо пропорционально частоте тока и индуктивности катушки.

Следует также отметить, что для катушки индуктивности существует сдвиг фаз между током и напряжением: колебания напряжения опережают по фазе колебания силы тока на $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°).

Ответ: Действующее значение напряжения $U$ на катушке индуктивности прямо пропорционально действующему значению силы тока $I$, текущего через нее. Эта связь описывается формулой $U = I \cdot X_L$, где $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление катушки, $\omega$ — угловая частота переменного тока, а $L$ — индуктивность катушки. Итоговая формула связи имеет вид: $U = I \cdot \omega L$.

1. Ёмкость конденсатора, включённого в цепь переменного тока, равна 2 мкФ. Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе $u = 75 \cos (2 \cdot 10^3 t)$, где все величины выражены в СИ. Определите амплитуду силы тока

1) 0,003 А

2) 0,3 А

3) 0,58 А

4) 50 А

1. Дано:
Ёмкость конденсатора: $C = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе: $u = 75 \cos(2 \cdot 10^3 t)$

Найти:
Амплитуду силы тока $I_m$.

Решение:
Общий вид уравнения колебаний напряжения в цепи переменного тока: $u(t) = U_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $U_m$ — амплитуда напряжения, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.
Сравнив это уравнение с данным в условии $u = 75 \cos(2 \cdot 10^3 t)$, определим параметры нашей цепи:
Амплитуда напряжения $U_m = 75 \text{ В}$.
Циклическая частота $\omega = 2 \cdot 10^3 \text{ рад/с}$.
Амплитуда силы тока $I_m$ в цепи с конденсатором определяется по закону Ома для переменного тока: $I_m = \frac{U_m}{X_C}$, где $X_C$ — ёмкостное сопротивление.
Ёмкостное сопротивление рассчитывается по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C}$.
Подставим вторую формулу в первую, чтобы выразить амплитуду тока через известные величины:
$I_m = \frac{U_m}{1/(\omega C)} = U_m \cdot \omega \cdot C$
Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения:
$I_m = 75 \cdot (2 \cdot 10^3) \cdot (2 \cdot 10^{-6}) = 75 \cdot 4 \cdot 10^{3-6} = 300 \cdot 10^{-3} = 0,3 \text{ А}$.

Ответ: 0,3 А.

2. Напряжение на конденсаторе в цепи переменного тока меняется с циклической частотой $\omega = 4000\ s^{-1}$. Амплитуда колебаний напряжения и силы тока $U_m = 200\ В$ и $I_m = 4\ А$. Определите ёмкость конденсатора.

1) 500 Ф

2) 0,5 мкФ

3) 5 мкФ

4) 2 мкФ

Дано:

Циклическая частота, $ \omega = 4000 \text{ с}^{-1} $

Амплитуда колебаний напряжения, $ U_m = 200 \text{ В} $

Амплитуда колебаний силы тока, $ I_m = 4 \text{ А} $

Все данные представлены в единицах системы СИ.

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$

Решение:

Для цепи переменного тока, содержащей только конденсатор, связь между амплитудами напряжения и силы тока определяется законом Ома, где в качестве сопротивления выступает ёмкостное сопротивление $X_C$:

$U_m = I_m \cdot X_C$

Отсюда можно выразить ёмкостное сопротивление:

$X_C = \frac{U_m}{I_m}$

Подставим известные значения:

$X_C = \frac{200 \text{ В}}{4 \text{ А}} = 50 \text{ Ом}$

Ёмкостное сопротивление также связано с циклической частотой тока $ \omega $ и ёмкостью конденсатора $ C $ формулой:

$X_C = \frac{1}{\omega C}$

Из этой формулы выразим искомую ёмкость конденсатора $ C $:

$C = \frac{1}{\omega X_C}$

Теперь подставим числовые значения циклической частоты и рассчитанного ёмкостного сопротивления:

$C = \frac{1}{4000 \text{ с}^{-1} \cdot 50 \text{ Ом}} = \frac{1}{200000} \text{ Ф} = \frac{1}{2 \cdot 10^5} \text{ Ф} = 0.5 \cdot 10^{-5} \text{ Ф}$

Для удобства переведем полученное значение в микрофарады (мкФ). В одном фараде $10^6$ микрофарад.

$C = 0.5 \cdot 10^{-5} \text{ Ф} = 0.5 \cdot 10^{-5} \cdot 10^6 \text{ мкФ} = 5 \text{ мкФ}$

Данный результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: ёмкость конденсатора равна 5 мкФ.

3. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы тока в ней $i = 0.4 \cos (2 \cdot 10^3 t)$, где все величины выражены в СИ. Определите амплитуду напряжения на катушке.

1) 100 В

2) 50 В

3) 10 В

4) 0,1 В

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,125$ Гн.

Уравнение колебаний силы тока $i(t) = 0,4 \cos(2 \cdot 10^3 t)$.

Все величины выражены в системе СИ.

Найти:

Амплитуду напряжения на катушке $U_m$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний силы тока в общем виде записывается как $i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитуда силы тока, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая общее уравнение с данным в условии задачи $i(t) = 0,4 \cos(2 \cdot 10^3 t)$, мы можем определить следующие параметры:

Амплитуда силы тока: $I_m = 0,4$ А.

Циклическая частота: $\omega = 2 \cdot 10^3$ рад/с.

Напряжение на катушке индуктивности $u(t)$ связано с изменением силы тока $i(t)$ через явление электромагнитной самоиндукции. Формула для мгновенного значения напряжения на катушке имеет вид:

$u(t) = L \frac{di}{dt}$

где $\frac{di}{dt}$ — производная силы тока по времени.

Найдем производную от функции силы тока $i(t)$:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(0,4 \cos(2 \cdot 10^3 t)) = 0,4 \cdot (-\sin(2 \cdot 10^3 t)) \cdot (2 \cdot 10^3) = -800 \sin(2 \cdot 10^3 t)$

Теперь подставим полученное выражение для производной в формулу для напряжения:

$u(t) = L \cdot \frac{di}{dt} = 0,125 \cdot (-800 \sin(2 \cdot 10^3 t)) = -100 \sin(2 \cdot 10^3 t)$

Полученное уравнение $u(t) = -100 \sin(2 \cdot 10^3 t)$ описывает колебания напряжения на катушке. Амплитуда напряжения $U_m$ — это максимальное по модулю значение напряжения, которое равно коэффициенту перед синусом.

$U_m = 100$ В.

Также задачу можно решить, используя понятие индуктивного сопротивления. Амплитуда напряжения на катушке $U_m$ связана с амплитудой тока $I_m$ и циклической частотой $\omega$ через соотношение, аналогичное закону Ома:

$U_m = I_m \cdot X_L$

где $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление катушки.

Подставим известные значения в формулу:

$U_m = I_m \cdot \omega \cdot L = 0,4 \cdot (2 \cdot 10^3) \cdot 0,125 = 0,4 \cdot 2000 \cdot 0,125 = 800 \cdot 0,125 = 100$ В.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 100 В.