Номер 3, страница 95 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

3. Индуктивность катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы тока в ней $i = 0.4 \cos (2 \cdot 10^3 t)$, где все величины выражены в СИ. Определите амплитуду напряжения на катушке.

1) 100 В

2) 50 В

3) 10 В

4) 0,1 В

Дано:

Индуктивность катушки $L = 0,125$ Гн.

Уравнение колебаний силы тока $i(t) = 0,4 \cos(2 \cdot 10^3 t)$.

Все величины выражены в системе СИ.

Найти:

Амплитуду напряжения на катушке $U_m$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний силы тока в общем виде записывается как $i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi_0)$, где $I_m$ — амплитуда силы тока, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза.

Сравнивая общее уравнение с данным в условии задачи $i(t) = 0,4 \cos(2 \cdot 10^3 t)$, мы можем определить следующие параметры:

Амплитуда силы тока: $I_m = 0,4$ А.

Циклическая частота: $\omega = 2 \cdot 10^3$ рад/с.

Напряжение на катушке индуктивности $u(t)$ связано с изменением силы тока $i(t)$ через явление электромагнитной самоиндукции. Формула для мгновенного значения напряжения на катушке имеет вид:

$u(t) = L \frac{di}{dt}$

где $\frac{di}{dt}$ — производная силы тока по времени.

Найдем производную от функции силы тока $i(t)$:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}(0,4 \cos(2 \cdot 10^3 t)) = 0,4 \cdot (-\sin(2 \cdot 10^3 t)) \cdot (2 \cdot 10^3) = -800 \sin(2 \cdot 10^3 t)$

Теперь подставим полученное выражение для производной в формулу для напряжения:

$u(t) = L \cdot \frac{di}{dt} = 0,125 \cdot (-800 \sin(2 \cdot 10^3 t)) = -100 \sin(2 \cdot 10^3 t)$

Полученное уравнение $u(t) = -100 \sin(2 \cdot 10^3 t)$ описывает колебания напряжения на катушке. Амплитуда напряжения $U_m$ — это максимальное по модулю значение напряжения, которое равно коэффициенту перед синусом.

$U_m = 100$ В.

Также задачу можно решить, используя понятие индуктивного сопротивления. Амплитуда напряжения на катушке $U_m$ связана с амплитудой тока $I_m$ и циклической частотой $\omega$ через соотношение, аналогичное закону Ома:

$U_m = I_m \cdot X_L$

где $X_L = \omega L$ — индуктивное сопротивление катушки.

Подставим известные значения в формулу:

$U_m = I_m \cdot \omega \cdot L = 0,4 \cdot (2 \cdot 10^3) \cdot 0,125 = 0,4 \cdot 2000 \cdot 0,125 = 800 \cdot 0,125 = 100$ В.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 100 В.