Номер 1, страница 95 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

1. Как связаны между собой действующие значения силы тока и напряжения на конденсаторе в цепи переменного тока?

В цепи переменного тока, содержащей конденсатор, напряжение $u(t)$ и сила тока $i(t)$ изменяются со временем по гармоническому закону. Связь между их действующими (эффективными) значениями можно установить, рассмотрев их мгновенные значения.

Пусть напряжение на конденсаторе изменяется по закону:

$ u(t) = U_m \sin(\omega t) $

где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, $\omega$ — циклическая частота переменного тока.

Заряд на обкладках конденсатора в любой момент времени $t$ связан с напряжением соотношением:

$ q(t) = C \cdot u(t) = C U_m \sin(\omega t) $

где $C$ — электроемкость конденсатора.

Сила тока в цепи по определению является скоростью изменения заряда, то есть производной заряда по времени:

$ i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt} (C U_m \sin(\omega t)) = \omega C U_m \cos(\omega t) $

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$, преобразуем выражение для силы тока:

$ i(t) = \omega C U_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) $

Из этого выражения видно, что колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°). Амплитудное значение силы тока $I_m$ равно:

$ I_m = \omega C U_m $

Из этого соотношения можно выразить связь между амплитудами тока и напряжения, которая напоминает закон Ома:

$ U_m = I_m \cdot \frac{1}{\omega C} $

Величина $X_C = \frac{1}{\omega C}$ называется емкостным сопротивлением. Оно характеризует сопротивление, которое конденсатор оказывает переменному току, и измеряется в Омах (Ом).

Действующие (или среднеквадратичные) значения силы тока $I$ и напряжения $U$ связаны с их амплитудными значениями $I_m$ и $U_m$ следующими соотношениями:

$ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} $ и $ U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} $

Подставим выражения для амплитуд ($I_m = \sqrt{2}I$ и $U_m = \sqrt{2}U$) в формулу $U_m = I_m \cdot X_C$:

$ \sqrt{2}U = (\sqrt{2}I) \cdot X_C $

Сократив множитель $\sqrt{2}$, получаем искомое соотношение для действующих значений, известное как закон Ома для участка цепи с конденсатором:

$ U = I \cdot X_C \quad \text{или} \quad I = \frac{U}{X_C} $

Подставляя выражение для емкостного сопротивления, получаем окончательную связь между действующими значениями силы тока и напряжения на конденсаторе:

$ I = \frac{U}{\frac{1}{\omega C}} = U \omega C $

Таким образом, действующее значение силы тока в цепи с конденсатором прямо пропорционально действующему значению напряжения на нем, а также прямо пропорционально циклической частоте тока и емкости конденсатора.

Ответ: Действующие значения силы тока $I$ и напряжения $U$ на конденсаторе в цепи переменного тока связаны соотношением, аналогичным закону Ома: $I = \frac{U}{X_C}$, где $X_C = \frac{1}{\omega C}$ — емкостное сопротивление. Здесь $\omega = 2\pi f$ — циклическая частота переменного тока, $f$ — его частота, а $C$ — электроемкость конденсатора. Следовательно, действующая сила тока прямо пропорциональна действующему напряжению ($I \propto U$), частоте тока ($I \propto f$) и емкости конденсатора ($I \propto C$).