Номер 4, страница 95 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Подумайте, как объяснить, что при равенстве ёмкостного и индуктивного сопротивлений колебания тока и напряжения источника происходят в фазе.

Решение

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую последовательно соединенные резистор (активное сопротивление $R$), катушку индуктивности (индуктивное сопротивление $X_L$) и конденсатор (ёмкостное сопротивление $X_C$).

Каждый из реактивных элементов (катушка и конденсатор) вносит сдвиг фаз между током в цепи и напряжением на этом элементе. Напряжение на катушке индуктивности опережает ток по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (90°). Напряжение на конденсаторе, наоборот, отстаёт от тока по фазе на $\frac{\pi}{2}$ (90°). Это означает, что напряжения на катушке и конденсаторе находятся в противофазе друг к другу (сдвиг фаз между ними составляет $\pi$ или 180°). Напряжение же на активном сопротивлении $R$ всегда совпадает по фазе с током.

Общий сдвиг фаз $\phi$ между напряжением источника и током во всей цепи определяется соотношением активного и полного реактивного сопротивления ($X_L - X_C$). Он находится по формуле:
$\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}$
где $X_L = \omega L$ – индуктивное сопротивление, а $X_C = \frac{1}{\omega C}$ – ёмкостное сопротивление ($\omega$ – циклическая частота переменного тока).

По условию, ёмкостное и индуктивное сопротивления равны:
$X_L = X_C$
Это явление называется резонансом напряжений.

Подставим это условие в формулу для сдвига фаз:
$\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0}{R} = 0$
Уравнение $\tan(\phi) = 0$ имеет решение $\phi = 0$.
Нулевой сдвиг фаз как раз и означает, что колебания тока и напряжения источника происходят в одной фазе.

Физический смысл этого заключается в следующем. При равенстве $X_L = X_C$ амплитуды напряжений на катушке ($U_{L_m} = I_m \cdot X_L$) и на конденсаторе ($U_{C_m} = I_m \cdot X_C$) становятся равными. Поскольку эти напряжения, как было сказано, находятся в противофазе, они в любой момент времени полностью компенсируют друг друга. Векторная сумма напряжений на реактивных элементах равна нулю: $\vec{U_L} + \vec{U_C} = 0$. В результате полное напряжение на зажимах цепи (напряжение источника) становится равным напряжению на активном сопротивлении: $\vec{U} = \vec{U_R}$. А так как на активном сопротивлении колебания тока и напряжения всегда синфазны, то и во всей цепи при резонансе ток и напряжение источника совпадают по фазе.

Ответ: При равенстве ёмкостного и индуктивного сопротивлений ($X_L = X_C$) в цепи переменного тока наступает резонанс. При этом напряжения на катушке и конденсаторе равны по величине, но противоположны по фазе, из-за чего они взаимно компенсируются. В результате цепь ведет себя как чисто активная нагрузка (сопротивление $R$), а в такой нагрузке колебания тока и напряжения всегда совпадают по фазе. Математически это следует из формулы сдвига фаз $\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}$, которая при $X_L = X_C$ даёт $\tan(\phi) = 0$, откуда сдвиг фаз $\phi = 0$.