Страница 100 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения

1. Определите амплитуду ЭДС, наводимой в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, если частота вращения составляет 50 об/с, площадь рамки $100\text{ см}^2$ и магнитная индукция 0,2 Тл.

1. Дано:

Найти:

Амплитуду ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий ее, изменяется со временем. Магнитный поток определяется формулой:

$\Phi(t) = B S \cos(\alpha)$

где $B$ – магнитная индукция, $S$ – площадь рамки, а $\alpha$ – угол между нормалью к плоскости рамки и вектором магнитной индукции. При равномерном вращении этот угол изменяется по закону $\alpha(t) = \omega t$, где $\omega$ – угловая частота вращения.

Таким образом, магнитный поток изменяется как:

$\Phi(t) = B S \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(B S \cos(\omega t))$

Найдем производную:

$\mathcal{E}(t) = - B S (-\omega \sin(\omega t)) = B S \omega \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$, – это максимальное значение $\mathcal{E}(t)$, которое достигается, когда $\sin(\omega t)$ равен 1. Следовательно, формула для амплитуды ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = B S \omega$

Угловая частота $\omega$ связана с линейной частотой вращения $f$ соотношением $\omega = 2 \pi f$. Подставим это в формулу для амплитуды:

$\mathcal{E}_{max} = B S \cdot 2 \pi f = 2 \pi f B S$

Подставим числовые значения из условия задачи в системе СИ:

$\mathcal{E}_{max} = 2 \pi \cdot 50 \text{ Гц} \cdot 0,2 \text{ Тл} \cdot 0,01 \text{ м}^2$

$\mathcal{E}_{max} = 100 \pi \cdot 0,002 \text{ В} = 0,2 \pi \text{ В}$

Рассчитаем численное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$\mathcal{E}_{max} \approx 0,2 \cdot 3,14 = 0,628 \text{ В}$

Округлим до двух значащих цифр.

$\mathcal{E}_{max} \approx 0,63 \text{ В}$

Ответ: $0,2\pi \text{ В} \approx 0,63 \text{ В}$.

2. Катушка индуктивностью $L = 0,08$ Гн присоединена к источнику переменного напряжения с частотой $\nu = 1000$ Гц. Действующее значение напряжения $U = 100$ В. Определите амплитуду силы тока $I_m$ в цепи.

Дано

Индуктивность катушки, $L = 0,08$ Гн
Частота переменного напряжения, $\nu = 1000$ Гц
Действующее значение напряжения, $U = 100$ В

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Амплитуду силы тока $I_m$.

Решение

Для определения амплитуды силы тока в цепи с катушкой индуктивности необходимо сначала рассчитать ее индуктивное сопротивление $X_L$. Оно вычисляется по формуле:

$X_L = \omega L$

где $\omega$ — циклическая (угловая) частота. Циклическая частота связана с линейной частотой $\nu$ следующим соотношением:

$\omega = 2 \pi \nu$

Подставив выражение для циклической частоты в формулу индуктивного сопротивления, получим:

$X_L = 2 \pi \nu L$

Вычислим значение индуктивного сопротивления для данных условий:

$X_L = 2 \cdot \pi \cdot 1000 \, \text{Гц} \cdot 0.08 \, \text{Гн} = 160 \pi \, \text{Ом} \approx 502,7 \, \text{Ом}$

Амплитуда силы тока $I_m$ связана с амплитудой напряжения $U_m$ и полным сопротивлением цепи (в данном случае, индуктивным сопротивлением $X_L$) согласно закону Ома для амплитудных значений:

$I_m = \frac{U_m}{X_L}$

В задаче дано действующее (эффективное) значение напряжения $U$. Амплитудное значение напряжения $U_m$ связано с действующим значением $U$ для синусоидального тока соотношением:

$U_m = U \sqrt{2}$

Вычислим амплитуду напряжения:

$U_m = 100 \, \text{В} \cdot \sqrt{2} \approx 141,4 \, \text{В}$

Теперь мы можем найти амплитуду силы тока:

$I_m = \frac{U_m}{X_L} = \frac{100 \sqrt{2} \, \text{В}}{160 \pi \, \text{Ом}} = \frac{5 \sqrt{2}}{8 \pi} \, \text{А}$

Подставим числовые значения и рассчитаем результат:

$I_m \approx \frac{141.4 \, \text{В}}{502.7 \, \text{Ом}} \approx 0,281 \, \text{А}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $0,28$ А.

Ответ: амплитуда силы тока в цепи $I_m \approx 0,28$ А.

жения $U = 100 \text{ В. Определите амплитуду силы тока } I_m \text{ в цепи}$.

3. Катушка индуктивностью $0,1 \text{ Гн}$ и активным сопротивлением $25 \text{ Ом}$ включена в сеть переменного тока частотой $50 \text{ Гц}$. Определите действующее значение силы тока в катушке, если амплитуда напряжения на её вводах $120 \text{ В}$.

Дано:

Индуктивность катушки, $L = 0,1$ Гн
Активное сопротивление, $R = 25$ Ом
Частота переменного тока, $f = 50$ Гц
Амплитуда напряжения, $U_m = 120$ В

Все величины представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Действующее значение силы тока $I$ — ?

Решение:

Катушка индуктивности в цепи переменного тока обладает как активным сопротивлением $R$, так и индуктивным (реактивным) сопротивлением $X_L$. Полное сопротивление цепи, называемое импедансом $Z$, находится как геометрическая сумма этих сопротивлений.

1. Рассчитаем циклическую (угловую) частоту переменного тока $\omega$ по формуле:
$\omega = 2 \pi f$
Подставим числовые значения:
$\omega = 2 \cdot \pi \cdot 50 = 100\pi$ рад/с.

2. Определим индуктивное сопротивление катушки $X_L$:
$X_L = \omega L$
Подставим значения $\omega$ и $L$:
$X_L = 100\pi \cdot 0,1 = 10\pi$ Ом.
Для численных расчетов примем $\pi \approx 3,14$:
$X_L \approx 10 \cdot 3,14 = 31,4$ Ом.

3. Найдем полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$. Для последовательного RL-контура оно вычисляется по формуле:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
Подставим значения $R$ и $X_L$:
$Z = \sqrt{25^2 + (10\pi)^2} = \sqrt{625 + 100\pi^2}$ Ом.
$Z \approx \sqrt{25^2 + 31,4^2} = \sqrt{625 + 985,96} = \sqrt{1610,96} \approx 40,14$ Ом.

4. Чтобы найти действующее значение силы тока, сначала найдем амплитудное значение силы тока $I_m$, используя закон Ома для цепи переменного тока:
$I_m = \frac{U_m}{Z}$
$I_m \approx \frac{120 \text{ В}}{40,14 \text{ Ом}} \approx 2,99$ А.

5. Действующее (эффективное) значение силы тока $I$ связано с амплитудным значением $I_m$ следующим соотношением:
$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$
Подставим вычисленное значение $I_m$:
$I \approx \frac{2,99 \text{ А}}{\sqrt{2}} \approx \frac{2,99 \text{ А}}{1,414} \approx 2,11$ А.

Ответ: действующее значение силы тока в катушке приблизительно равно $2,11$ А.

4. К источнику переменного напряжения, изменяющегося по формуле $u = 2\sin 200\pi t$ (В), подключили последовательно катушку индуктивностью 86 мГн, конденсатор ёмкостью 160 мкФ и резистор сопротивлением 100 Ом. Определите полное сопротивление цепи, частоту переменного тока, амплитудное значение силы тока.

Дано:

Формула изменения напряжения: $u = 2\sin(200\pi t)$ В
Индуктивность катушки: $L = 86 \text{ мГн} = 0.086$ Гн
Ёмкость конденсатора: $C = 160 \text{ мкФ} = 160 \times 10^{-6} \text{ Ф} = 1.6 \times 10^{-4}$ Ф
Сопротивление резистора: $R = 100$ Ом

Найти:

Полное сопротивление цепи $Z$ - ?
Частоту переменного тока $f$ - ?
Амплитудное значение силы тока $I_m$ - ?

Решение:

Уравнение переменного напряжения в общем виде: $u = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega$ — циклическая (круговая) частота. Сравнивая это уравнение с заданным в условии $u = 2\sin(200\pi t)$, мы можем определить: Амплитудное значение напряжения $U_m = 2$ В. Циклическую частоту $\omega = 200\pi$ рад/с.

Далее найдем искомые величины.

Частота переменного тока

Циклическая частота $\omega$ и линейная частота $f$ связаны соотношением $\omega = 2\pi f$. Выразим из этой формулы частоту $f$: $f = \frac{\omega}{2\pi}$ Подставим известное значение циклической частоты: $f = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$ Гц.

Ответ: Частота переменного тока равна 100 Гц.

Полное сопротивление цепи

Полное сопротивление цепи переменного тока (импеданс) $Z$ для последовательно соединенных резистора, катушки и конденсатора вычисляется по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ где $R$ — активное сопротивление, $X_L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C$ — ёмкостное сопротивление.

Сначала необходимо рассчитать индуктивное и ёмкостное сопротивления. Индуктивное сопротивление $X_L$ находится по формуле: $X_L = \omega L = 200\pi \cdot 0.086 = 17.2\pi \approx 54.04$ Ом.

Ёмкостное сопротивление $X_C$ находится по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{200\pi \cdot 1.6 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.032\pi} = \frac{31.25}{\pi} \approx 9.95$ Ом.

Теперь подставим все значения в формулу для полного сопротивления: $Z = \sqrt{100^2 + (54.04 - 9.95)^2} = \sqrt{10000 + (44.09)^2} = \sqrt{10000 + 1943.93} = \sqrt{11943.93} \approx 109.3$ Ом.

Ответ: Полное сопротивление цепи составляет примерно 109.3 Ом.

Амплитудное значение силы тока

Амплитудное значение силы тока $I_m$ можно найти, используя закон Ома для цепи переменного тока, который связывает амплитуды напряжения и тока с полным сопротивлением: $I_m = \frac{U_m}{Z}$ Подставим известные и ранее вычисленные значения: $I_m = \frac{2 \text{ В}}{109.3 \text{ Ом}} \approx 0.0183$ А.

Ответ: Амплитудное значение силы тока примерно равно 0.0183 А (или 18.3 мА).

1. При подключении к колебательному контуру источника переменной ЭДС $e = 100 \sin (800\pi t)$, где все величины выражены в СИ, наблюдается резонанс токов. Определите частоту собственных колебаний в данном контуре.

Дано:

Закон изменения ЭДС: $e = 100 \sin(800\pi t)$
Наблюдается резонанс токов.
Все величины выражены в СИ, перевод не требуется.

Найти:

Частоту собственных колебаний в контуре $\nu_0$.

Решение:

Уравнение переменной ЭДС в общем виде записывается как $e = E_{max} \sin(\omega t)$, где $E_{max}$ — амплитудное значение ЭДС, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота вынужденных колебаний, которые создает источник.

Из условия задачи нам дано уравнение $e = 100 \sin(800\pi t)$. Сравнивая это уравнение с общим видом, мы можем определить циклическую частоту источника переменной ЭДС:

$\omega = 800\pi$ рад/с.

В задаче указано, что в контуре наблюдается резонанс токов. Явление резонанса в колебательном контуре наступает в том случае, когда частота вынужденных колебаний (т.е. частота источника ЭДС) совпадает с собственной частотой колебаний контура.

Таким образом, собственная циклическая частота контура $\omega_0$ равна циклической частоте источника $\omega$:

$\omega_0 = \omega = 800\pi$ рад/с.

Собственная частота колебаний $\nu_0$ (измеряется в Герцах) связана с собственной циклической частотой $\omega_0$ (измеряется в радианах в секунду) следующим соотношением:

$\omega_0 = 2\pi\nu_0$

Чтобы найти частоту собственных колебаний $\nu_0$, выразим ее из этой формулы:

$\nu_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$

Теперь подставим известное значение $\omega_0$:

$\nu_0 = \frac{800\pi}{2\pi} = 400$ Гц.

Ответ: частота собственных колебаний в данном контуре равна 400 Гц.

2. Резистор сопротивлением $R = 100$ Ом и два параллельно подключённых конденсатора ёмкостью $C = 40$ мкФ соединены последовательно и подключены к источнику с максимальным напряжением $U_m = 220$ В и частотой $v = 50$ Гц. Определите тепловую мощность, выделяемую в резисторе.

Дано:

Сопротивление резистора: $R = 100$ Ом

Ёмкость одного конденсатора: $C = 40$ мкФ

Максимальное напряжение источника: $U_m = 220$ В

Частота переменного тока: $ν = 50$ Гц

$C = 40 \text{ мкФ} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Тепловая мощность в резисторе: $P$

Решение:

В цепь включены резистор и два конденсатора. Конденсаторы соединены параллельно, а затем эта группа соединена последовательно с резистором.

1. Сначала определим общую ёмкость двух параллельно соединённых конденсаторов. При параллельном соединении ёмкости складываются:

$C_{общ} = C + C = 2C$

$C_{общ} = 2 \cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 80 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

2. Далее найдём ёмкостное сопротивление $X_C$ этой группы конденсаторов. Для этого сначала вычислим циклическую (угловую) частоту переменного тока $\omega$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с}$

Теперь можно рассчитать ёмкостное сопротивление:

$X_C = \frac{1}{\omega C_{общ}} = \frac{1}{100\pi \cdot 80 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{8000\pi \cdot 10^{-6}} = \frac{10^6}{8000\pi} = \frac{125}{\pi} \text{ Ом}$

3. Резистор и группа конденсаторов соединены последовательно. Найдём полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$ для последовательной RC-цепи:

$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + \left(\frac{125}{\pi}\right)^2}$

4. Тепловая мощность $P$ выделяется только на активном сопротивлении (резисторе) и рассчитывается по формуле $P = I_{действ}^2 R$, где $I_{действ}$ — действующее (среднеквадратичное) значение силы тока в цепи.

Действующее значение тока можно найти через действующее значение напряжения $U_{действ}$ и импеданс $Z$. Действующее напряжение связано с максимальным (амплитудным) напряжением $U_m$ соотношением $U_{действ} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

$I_{действ} = \frac{U_{действ}}{Z} = \frac{U_m}{\sqrt{2} Z}$

Подставим это выражение в формулу для мощности:

$P = I_{действ}^2 R = \left(\frac{U_m}{\sqrt{2} Z}\right)^2 R = \frac{U_m^2 R}{2 Z^2}$

Подставим в эту формулу выражение для $Z^2 = R^2 + X_C^2$:

$P = \frac{U_m^2 R}{2(R^2 + X_C^2)}$

5. Выполним числовой расчёт, подставив все известные значения:

$P = \frac{220^2 \cdot 100}{2\left(100^2 + \left(\frac{125}{\pi}\right)^2\right)} = \frac{48400 \cdot 100}{2\left(10000 + \frac{15625}{\pi^2}\right)} \approx \frac{2420000}{10000 + \frac{15625}{9.87}} \approx \frac{2420000}{10000 + 1582.6} \approx \frac{2420000}{11582.6} \approx 208.9 \text{ Вт}$

Ответ: $P \approx 209 \text{ Вт}$.