Номер 2, страница 100 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Резистор сопротивлением $R = 100$ Ом и два параллельно подключённых конденсатора ёмкостью $C = 40$ мкФ соединены последовательно и подключены к источнику с максимальным напряжением $U_m = 220$ В и частотой $v = 50$ Гц. Определите тепловую мощность, выделяемую в резисторе.

Дано:

Сопротивление резистора: $R = 100$ Ом

Ёмкость одного конденсатора: $C = 40$ мкФ

Максимальное напряжение источника: $U_m = 220$ В

Частота переменного тока: $ν = 50$ Гц

$C = 40 \text{ мкФ} = 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

Тепловая мощность в резисторе: $P$

Решение:

В цепь включены резистор и два конденсатора. Конденсаторы соединены параллельно, а затем эта группа соединена последовательно с резистором.

1. Сначала определим общую ёмкость двух параллельно соединённых конденсаторов. При параллельном соединении ёмкости складываются:

$C_{общ} = C + C = 2C$

$C_{общ} = 2 \cdot 40 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 80 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

2. Далее найдём ёмкостное сопротивление $X_C$ этой группы конденсаторов. Для этого сначала вычислим циклическую (угловую) частоту переменного тока $\omega$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 50 \text{ Гц} = 100\pi \text{ рад/с}$

Теперь можно рассчитать ёмкостное сопротивление:

$X_C = \frac{1}{\omega C_{общ}} = \frac{1}{100\pi \cdot 80 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{8000\pi \cdot 10^{-6}} = \frac{10^6}{8000\pi} = \frac{125}{\pi} \text{ Ом}$

3. Резистор и группа конденсаторов соединены последовательно. Найдём полное сопротивление цепи (импеданс) $Z$ для последовательной RC-цепи:

$Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + \left(\frac{125}{\pi}\right)^2}$

4. Тепловая мощность $P$ выделяется только на активном сопротивлении (резисторе) и рассчитывается по формуле $P = I_{действ}^2 R$, где $I_{действ}$ — действующее (среднеквадратичное) значение силы тока в цепи.

Действующее значение тока можно найти через действующее значение напряжения $U_{действ}$ и импеданс $Z$. Действующее напряжение связано с максимальным (амплитудным) напряжением $U_m$ соотношением $U_{действ} = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$.

$I_{действ} = \frac{U_{действ}}{Z} = \frac{U_m}{\sqrt{2} Z}$

Подставим это выражение в формулу для мощности:

$P = I_{действ}^2 R = \left(\frac{U_m}{\sqrt{2} Z}\right)^2 R = \frac{U_m^2 R}{2 Z^2}$

Подставим в эту формулу выражение для $Z^2 = R^2 + X_C^2$:

$P = \frac{U_m^2 R}{2(R^2 + X_C^2)}$

5. Выполним числовой расчёт, подставив все известные значения:

$P = \frac{220^2 \cdot 100}{2\left(100^2 + \left(\frac{125}{\pi}\right)^2\right)} = \frac{48400 \cdot 100}{2\left(10000 + \frac{15625}{\pi^2}\right)} \approx \frac{2420000}{10000 + \frac{15625}{9.87}} \approx \frac{2420000}{10000 + 1582.6} \approx \frac{2420000}{11582.6} \approx 208.9 \text{ Вт}$

Ответ: $P \approx 209 \text{ Вт}$.