Номер 4, страница 100 - гдз по физике 11 класс учебник Мякишев, Буховцев

4. К источнику переменного напряжения, изменяющегося по формуле $u = 2\sin 200\pi t$ (В), подключили последовательно катушку индуктивностью 86 мГн, конденсатор ёмкостью 160 мкФ и резистор сопротивлением 100 Ом. Определите полное сопротивление цепи, частоту переменного тока, амплитудное значение силы тока.

Дано:

Формула изменения напряжения: $u = 2\sin(200\pi t)$ В
Индуктивность катушки: $L = 86 \text{ мГн} = 0.086$ Гн
Ёмкость конденсатора: $C = 160 \text{ мкФ} = 160 \times 10^{-6} \text{ Ф} = 1.6 \times 10^{-4}$ Ф
Сопротивление резистора: $R = 100$ Ом

Найти:

Полное сопротивление цепи $Z$ - ?
Частоту переменного тока $f$ - ?
Амплитудное значение силы тока $I_m$ - ?

Решение:

Уравнение переменного напряжения в общем виде: $u = U_m \sin(\omega t)$, где $U_m$ — амплитудное значение напряжения, а $\omega$ — циклическая (круговая) частота. Сравнивая это уравнение с заданным в условии $u = 2\sin(200\pi t)$, мы можем определить: Амплитудное значение напряжения $U_m = 2$ В. Циклическую частоту $\omega = 200\pi$ рад/с.

Далее найдем искомые величины.

Частота переменного тока

Циклическая частота $\omega$ и линейная частота $f$ связаны соотношением $\omega = 2\pi f$. Выразим из этой формулы частоту $f$: $f = \frac{\omega}{2\pi}$ Подставим известное значение циклической частоты: $f = \frac{200\pi}{2\pi} = 100$ Гц.

Ответ: Частота переменного тока равна 100 Гц.

Полное сопротивление цепи

Полное сопротивление цепи переменного тока (импеданс) $Z$ для последовательно соединенных резистора, катушки и конденсатора вычисляется по формуле: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ где $R$ — активное сопротивление, $X_L$ — индуктивное сопротивление, а $X_C$ — ёмкостное сопротивление.

Сначала необходимо рассчитать индуктивное и ёмкостное сопротивления. Индуктивное сопротивление $X_L$ находится по формуле: $X_L = \omega L = 200\pi \cdot 0.086 = 17.2\pi \approx 54.04$ Ом.

Ёмкостное сопротивление $X_C$ находится по формуле: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{200\pi \cdot 1.6 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.032\pi} = \frac{31.25}{\pi} \approx 9.95$ Ом.

Теперь подставим все значения в формулу для полного сопротивления: $Z = \sqrt{100^2 + (54.04 - 9.95)^2} = \sqrt{10000 + (44.09)^2} = \sqrt{10000 + 1943.93} = \sqrt{11943.93} \approx 109.3$ Ом.

Ответ: Полное сопротивление цепи составляет примерно 109.3 Ом.

Амплитудное значение силы тока

Амплитудное значение силы тока $I_m$ можно найти, используя закон Ома для цепи переменного тока, который связывает амплитуды напряжения и тока с полным сопротивлением: $I_m = \frac{U_m}{Z}$ Подставим известные и ранее вычисленные значения: $I_m = \frac{2 \text{ В}}{109.3 \text{ Ом}} \approx 0.0183$ А.

Ответ: Амплитудное значение силы тока примерно равно 0.0183 А (или 18.3 мА).