Номер 2.65, страница 46 - гдз по физике 11 класс сборник задач Заболотский, Комиссаров

Основы электродинамики. Глава 2. Электрический ток в различных средах. Электрический ток в полупроводниках - номер 2.65, страница 46.

Условие.

2.65. Каким должно быть содержание примеси алюминия в кремнии (по массе в процентах), чтобы концентрация дырок в нём равнялась $5 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3}$? Принять, что каждый атом алюминия участвует в образовании дырки. Плотность кремния $2,33 \text{ г/см}^{3}$.

Решение.

Дано:

$p = 5 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3}$

$\rho_{Si} = 2,33 \text{ г/см}^{3}$

$M_{Al} = 27 \text{ г/моль}$ (молярная масса алюминия)

$N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ (число Авогадро)

Перевод в систему СИ:

$p = 5 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3} = 5 \cdot 10^{16} \cdot (10^{-2} \text{ м})^{-3} = 5 \cdot 10^{22} \text{ м}^{-3}$

$\rho_{Si} = 2,33 \text{ г/см}^{3} = 2,33 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2330 \text{ кг/м}^3$

$M_{Al} = 27 \text{ г/моль} = 0,027 \text{ кг/моль}$

Найти:

$\omega_{Al}$ — содержание примеси алюминия по массе в процентах.

Решение:

Кремний ($\text{Si}$) является полупроводником IV группы. Алюминий ($\text{Al}$) — элемент III группы, поэтому при добавлении в кремний он выступает в качестве акцепторной примеси. Каждый атом алюминия захватывает электрон из валентной зоны кремния, создавая тем самым одну дырку (положительно заряженный носитель). По условию задачи, каждый атом алюминия участвует в образовании дырки. Следовательно, концентрация атомов алюминия $N_{Al}$ равна заданной концентрации дырок $\text{p}$.

$N_{Al} = p = 5 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3}$

Массовая доля примеси алюминия $\omega_{Al}$ определяется как отношение массы алюминия $m_{Al}$ к общей массе образца $m_{общ}$:

$\omega_{Al} = \frac{m_{Al}}{m_{общ}} \cdot 100\%$

Так как концентрация примеси очень мала, общую массу можно считать приблизительно равной массе кремния: $m_{общ} \approx m_{Si}$.

$\omega_{Al} \approx \frac{m_{Al}}{m_{Si}} \cdot 100\%$

Рассмотрим некоторый объем $\text{V}$ легированного кремния. Масса кремния в этом объеме равна:

$m_{Si} = \rho_{Si} \cdot V$

Масса алюминия в этом же объеме равна произведению числа атомов алюминия на массу одного атома. Число атомов алюминия — это произведение их концентрации $N_{Al}$ на объем $\text{V}$. Масса одного атома алюминия равна его молярной массе $M_{Al}$, деленной на число Авогадро $N_A$.

$m_{Al} = (N_{Al} \cdot V) \cdot \frac{M_{Al}}{N_A}$

Подставим выражения для масс в формулу для массовой доли:

$\omega_{Al} = \frac{N_{Al} \cdot V \cdot \frac{M_{Al}}{N_A}}{\rho_{Si} \cdot V} \cdot 100\% = \frac{N_{Al} \cdot M_{Al}}{\rho_{Si} \cdot N_A} \cdot 100\%$

Подставим числовые значения в исходных единицах (г, см):

$\omega_{Al} = \frac{5 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3} \cdot 27 \text{ г/моль}}{2,33 \text{ г/см}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \cdot 100\%$

$\omega_{Al} = \frac{135 \cdot 10^{16}}{14,03126 \cdot 10^{23}} \cdot 100\% \approx 9,62 \cdot 10^{-7} \cdot 100\%$

$\omega_{Al} \approx 9,62 \cdot 10^{-5} \%$

Ответ: Содержание примеси алюминия в кремнии должно быть $9,62 \cdot 10^{-5} \%$.