Номер 1, страница 18 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

1. При индуктивности колебательного контура 100 мкГн частота свободных электрических колебаний равна 2 МГц. Какой должна быть индуктивность контура при неизменной электроемкости, чтобы частота колебаний в контуре стала равной 4 МГц?

Дано:

Начальная индуктивность $L_1 = 100$ мкГн
Начальная частота $f_1 = 2$ МГц
Конечная частота $f_2 = 4$ МГц
Электроемкость $C = \text{const}$

Перевод в систему СИ:
$L_1 = 100 \times 10^{-6} \text{ Гн} = 10^{-4} \text{ Гн}$
$f_1 = 2 \times 10^6 \text{ Гц}$
$f_2 = 4 \times 10^6 \text{ Гц}$

Найти:

Конечная индуктивность $L_2$

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона:
$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
где $\text{f}$ — частота колебаний, $\text{L}$ — индуктивность катушки, а $\text{C}$ — электроемкость конденсатора.
Запишем эту формулу для начального и конечного состояний контура.
Для начального состояния (с индексом 1):
$f_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C}}$
Для конечного состояния (с индексом 2):
$f_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C}}$
По условию задачи электроемкость $\text{C}$ остается неизменной. Чтобы найти связь между индуктивностью и частотой, разделим выражение для частоты $f_2$ на выражение для частоты $f_1$:
$\frac{f_2}{f_1} = \frac{1/(2\pi\sqrt{L_2C})}{1/(2\pi\sqrt{L_1C})} = \frac{2\pi\sqrt{L_1C}}{2\pi\sqrt{L_2C}} = \sqrt{\frac{L_1C}{L_2C}} = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}$
Из полученного соотношения $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}$ выразим искомую индуктивность $L_2$. Для этого сначала возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\frac{f_2}{f_1})^2 = \frac{L_1}{L_2}$
Теперь выразим $L_2$:
$L_2 = L_1 \cdot (\frac{f_1}{f_2})^2$
Подставим в формулу числовые значения. Удобно, что при вычислении отношения частот единицы измерения (МГц) сокращаются, поэтому можно не переводить их в СИ для этого шага. Результат для $L_2$ будет в тех же единицах, что и $L_1$ (мкГн).
$L_2 = 100 \text{ мкГн} \cdot (\frac{2 \text{ МГц}}{4 \text{ МГц}})^2 = 100 \text{ мкГн} \cdot (\frac{1}{2})^2 = 100 \text{ мкГн} \cdot \frac{1}{4} = 25 \text{ мкГн}$
Таким образом, чтобы увеличить частоту колебаний в 2 раза (с 2 до 4 МГц), индуктивность контура необходимо уменьшить в 4 раза.

Ответ: 25 мкГн.