Номер 2, страница 18 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Во сколько раз увеличится частота свободных электрических колебаний в контуре, если конденсаторы включить последовательно?

Дано:

Колебательный контур: катушка индуктивности $\text{L}$ и два одинаковых конденсатора емкостью $\text{C}$.
Случай 1: конденсаторы соединены параллельно. Частота колебаний - $\nu_1$.
Случай 2: конденсаторы соединены последовательно. Частота колебаний - $\nu_2$.

Найти:

Отношение частот $\frac{\nu_2}{\nu_1}$.

Решение:

Частота свободных электрических колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{общ}}}$, где $\text{L}$ - индуктивность катушки, а $C_{общ}$ - общая (эквивалентная) емкость конденсаторов в контуре.

Рассмотрим два случая соединения конденсаторов.

1. Параллельное соединение конденсаторов.

При параллельном соединении двух одинаковых конденсаторов их общая емкость $C_{1}$ равна сумме их емкостей:

$C_{1} = C + C = 2C$

Частота колебаний $\nu_1$ в этом случае равна:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{1}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(2C)}}$

2. Последовательное соединение конденсаторов.

При последовательном соединении двух одинаковых конденсаторов их общая емкость $C_{2}$ находится из соотношения:

$\frac{1}{C_{2}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$

Отсюда эквивалентная емкость $C_{2} = \frac{C}{2}$.

Частота колебаний $\nu_2$ для этого случая будет равна:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_{2}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(\frac{C}{2})}}$

3. Определение отношения частот.

Чтобы найти, во сколько раз увеличится частота, найдем отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{L(C/2)}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{L(2C)}}} = \frac{2\pi\sqrt{L(2C)}}{2\pi\sqrt{L(C/2)}} = \frac{\sqrt{2LC}}{\sqrt{LC/2}}$

Упростим выражение, объединив все под одним корнем:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{\frac{2LC}{LC/2}} = \sqrt{\frac{2}{1/2}} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: Частота свободных электрических колебаний в контуре увеличится в 2 раза.