Номер 3, страница 18 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

3. Как надо изменить расстояние между пластинами конденсатора в колебательном контуре, чтобы частота колебаний увеличилась в 2 раза?

Дано:

Колебательный контур.

Начальная частота колебаний: $ν_1$.

Конечная частота колебаний: $ν_2$.

Отношение частот: $\frac{ν_2}{ν_1} = 2$.

Найти:

Отношение конечного расстояния между пластинами конденсатора $d_2$ к начальному $d_1$: $\frac{d_2}{d_1}$ - ?

Решение:

Частота свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется по формуле Томсона:

$ν = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

где $\text{L}$ – индуктивность катушки, а $\text{C}$ – электроёмкость конденсатора.

Электроёмкость плоского конденсатора зависит от расстояния между его пластинами $\text{d}$ следующим образом:

$C = \frac{\epsilon\epsilon_0S}{d}$

где $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $\text{S}$ – площадь пластин.

Чтобы определить, как частота колебаний зависит от расстояния между пластинами, подставим выражение для ёмкости $\text{C}$ в формулу Томсона:

$ν = \frac{1}{2\pi\sqrt{L \cdot \frac{\epsilon\epsilon_0S}{d}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L\epsilon\epsilon_0S}} \cdot \sqrt{d}$

Из полученной формулы видно, что при неизменных параметрах контура ($\text{L}$, $\epsilon$, $\text{S}$), частота колебаний $ν$ прямо пропорциональна квадратному корню из расстояния $\text{d}$ между пластинами:

$ν \propto \sqrt{d}$

Теперь мы можем составить пропорцию для начального (с индексом 1) и конечного (с индексом 2) состояний:

$\frac{ν_2}{ν_1} = \frac{\sqrt{d_2}}{\sqrt{d_1}} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$

По условию задачи, частота должна увеличиться в 2 раза, то есть $\frac{ν_2}{ν_1} = 2$. Подставим это значение в наше соотношение:

$2 = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}$

Чтобы найти искомое отношение расстояний $\frac{d_2}{d_1}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{\frac{d_2}{d_1}}\right)^2$

$\frac{d_2}{d_1} = 4$

Таким образом, чтобы частота колебаний в контуре увеличилась в 2 раза, расстояние между пластинами конденсатора нужно увеличить в 4 раза.

Ответ: Расстояние между пластинами конденсатора необходимо увеличить в 4 раза.