Задание 2, страница 21 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

1. Используя рисунок 21 и данные таблицы 2, запишите закон сохранения полной механической энергии для состояний а и б, б и в, а и в.

2. Изобразите состояния колебательной системы для промежутков времени: $t = \frac{5T}{8}$; $t = \frac{3T}{4}$; $t = \frac{7T}{8}$; $t = T$.

3. Заполните таблицу «Энергия колебаний пружинного маятника» для этих значений времени.

1. Используя рисунок 21 и данные таблицы 2, запишите закон сохранения полной механической энергии для состояний а и б, б и в, а и в.

Закон сохранения полной механической энергии гласит, что в замкнутой системе, где действуют только консервативные силы (как сила упругости), полная механическая энергия остается постоянной. Для пружинного маятника полная механическая энергия $\text{E}$ равна сумме кинетической энергии $E_k = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии пружины $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$

Поскольку рисунок и таблица не предоставлены, будем исходить из стандартных обозначений для состояний маятника в процессе колебаний:

• Состояние «а»: крайнее положение (амплитудное), где смещение максимально ($x_a = \pm A$), а скорость равна нулю ($v_a=0$). Энергия в этом состоянии полностью потенциальная: $E_a = \frac{kA^2}{2}$.

• Состояние «б»: положение равновесия, где смещение равно нулю ($x_б = 0$), а скорость максимальна ($v_б = \pm v_{max}$). Энергия в этом состоянии полностью кинетическая: $E_б = \frac{mv_{max}^2}{2}$.

• Состояние «в»: произвольное промежуточное положение со смещением $x_в$ и скоростью $v_в$. Энергия состоит из кинетической и потенциальной частей: $E_в = \frac{mv_в^2}{2} + \frac{kx_в^2}{2}$.

Так как полная энергия сохраняется, $E_a = E_б = E_в$. Запишем этот закон для указанных в задании пар состояний:

Для состояний а и б:

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Для состояний б и в:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + \frac{kx_в^2}{2}$

Для состояний а и в:

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + \frac{kx_в^2}{2}$

Ответ:

Для состояний а и б: $\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$.

Для состояний б и в: $\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + \frac{kx_в^2}{2}$.

Для состояний а и в: $\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_в^2}{2} + \frac{kx_в^2}{2}$.

2. Изобразите состояния колебательной системы для промежутков времени: $t = \frac{5T}{8}$; $t = \frac{3T}{4}$; $t = \frac{7T}{8}$; $t=T$.

Для описания состояний системы предположим, что колебания начинаются из крайнего правого положения в момент $t=0$. Тогда закон движения маятника имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ – циклическая частота, $\text{A}$ – амплитуда, $\text{T}$ – период колебаний. Скорость маятника в любой момент времени: $v(t) = x'(t) = -A\omega \sin(\omega t)$.

Состояние при $t = \frac{5T}{8}$:

Фаза колебаний $\phi = \omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{5T}{8} = \frac{5\pi}{4}$.

Координата: $x = A \cos(\frac{5\pi}{4}) = A(-\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx -0.707A$.

Скорость: $v = -A\omega \sin(\frac{5\pi}{4}) = -A\omega(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = A\omega\frac{\sqrt{2}}{2}$. Скорость положительна.

Описание (изображение): Тело находится левее положения равновесия на расстоянии $\frac{A\sqrt{2}}{2}$ и движется вправо (в сторону положения равновесия).

Состояние при $t = \frac{3T}{4}$:

Фаза колебаний $\phi = \omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{3T}{4} = \frac{3\pi}{2}$.

Координата: $x = A \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

Скорость: $v = -A\omega \sin(\frac{3\pi}{2}) = -A\omega(-1) = A\omega = v_{max}$. Скорость максимальна и направлена вправо.

Описание (изображение): Тело проходит положение равновесия, двигаясь вправо с максимальной скоростью.

Состояние при $t = \frac{7T}{8}$:

Фаза колебаний $\phi = \omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{7T}{8} = \frac{7\pi}{4}$.

Координата: $x = A \cos(\frac{7\pi}{4}) = A(\frac{\sqrt{2}}{2}) \approx 0.707A$.

Скорость: $v = -A\omega \sin(\frac{7\pi}{4}) = -A\omega(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = A\omega\frac{\sqrt{2}}{2}$. Скорость положительна.

Описание (изображение): Тело находится правее положения равновесия на расстоянии $\frac{A\sqrt{2}}{2}$ и продолжает двигаться вправо (к крайнему положению).

Состояние при $t = T$:

Фаза колебаний $\phi = \omega t = \frac{2\pi}{T} \cdot T = 2\pi$.

Координата: $x = A \cos(2\pi) = A$.

Скорость: $v = -A\omega \sin(2\pi) = 0$.

Описание (изображение): Тело достигло крайнего правого положения (амплитуды) и на мгновение остановилось. Цикл колебания завершен.

Ответ: Описания положений и направлений скоростей тела в указанные моменты времени представлены выше.

3. Заполните таблицу «Энергия колебаний пружинного маятника» для этих значений времени.

Вычислим значения потенциальной ($E_p$), кинетической ($E_k$) и полной ($E_{полн}$) энергии для заданных моментов времени. Выразим их через полную энергию системы $\text{E}$.

Потенциальная энергия: $E_p(t) = \frac{kx(t)^2}{2} = \frac{kA^2 \cos^2(\omega t)}{2} = E \cos^2(\omega t)$.

Кинетическая энергия: $E_k(t) = \frac{mv(t)^2}{2} = \frac{m(-A\omega \sin(\omega t))^2}{2} = E \sin^2(\omega t)$.

Полная энергия: $E_{полн} = E_k + E_p = E(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) = E$.

Результаты расчетов приведены в таблице.

Ответ: Заполненная таблица «Энергия колебаний пружинного маятника» представлена выше.