Задание 5, страница 23 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 5

Используя программу https://www.geogebra.org/graphing, постройте график зависимости заряда от времени: $q = 3,2 \cos 314 t$ (мкКл). Определите зависимость силы тока от времени и постройте график. Исследуйте зависимость величин от частоты колебаний и начальной фазы.

Построение графика зависимости заряда от времени q = 3,2 cos(314t) (мкКл)

Для построения графика в программе GeoGebra необходимо в поле для ввода функций ввести уравнение, заменив q на y и t на x: y = 3.2 * cos(314 * x).

Полученный график представляет собой косинусоиду, описывающую гармонические колебания заряда. Основные параметры этих колебаний:

1. Амплитуда колебаний заряда ($q_m$): это максимальное значение заряда, равное множителю перед косинусом. $q_m = 3,2$ мкКл. График колеблется в диапазоне от -3,2 до +3,2 по оси ординат.

2. Циклическая частота ($\omega$): это множитель при времени t в аргументе косинуса. $\omega = 314$ рад/с.

3. Период колебаний (T): это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. $T = \frac{2 \cdot 3,14159}{314} \approx 0,02$ с. Это означает, что график повторяет свою форму каждые 0,02 секунды.

4. Начальная фаза ($\varphi_0$): в данном уравнении она равна нулю, так как аргумент косинуса не содержит дополнительного слагаемого. Это означает, что в начальный момент времени $t=0$ заряд имеет максимальное значение: $q(0) = 3,2 \cos(0) = 3,2$ мкКл.

Ответ: График зависимости $q(t)$ является косинусоидой с амплитудой 3,2 мкКл, периодом около 0,02 с и начальной фазой 0.

Определение зависимости силы тока от времени и построение графика

Дано:

Зависимость заряда от времени: $q(t) = 3,2 \cos(314t)$ (мкКл)

Перевод в СИ:

$q(t) = 3,2 \times 10^{-6} \cos(314t)$ Кл

Найти:

Зависимость силы тока от времени $I(t)$.

Решение:

Сила тока $\text{I}$ по определению является первой производной заряда $\text{q}$ по времени $\text{t}$:

$I(t) = q'(t) = \frac{d}{dt} (3,2 \times 10^{-6} \cos(314t))$

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$I(t) = 3,2 \times 10^{-6} \cdot (-\sin(314t)) \cdot (314)$

$I(t) = -(3,2 \cdot 314) \times 10^{-6} \sin(314t)$

$I(t) = -1004,8 \times 10^{-6} \sin(314t)$ А

Для удобства можно выразить силу тока в микроамперах (мкА) или миллиамперах (мА):

$I(t) = -1004,8 \sin(314t)$ мкА, или $I(t) \approx -1,0 \sin(314t)$ мА.

Это уравнение гармонических колебаний силы тока. Амплитуда колебаний силы тока $I_m = 1004,8$ мкА. Знак "минус" и функция синуса указывают на то, что колебания тока опережают колебания заряда по фазе на $\pi/2$ (или $\frac{T}{4}$). То есть, когда заряд максимален, ток равен нулю, а когда заряд равен нулю, ток достигает своего максимального по модулю значения.

Для построения графика в GeoGebra вводится функция y = -1004.8 * sin(314 * x). График будет представлять собой синусоиду с амплитудой 1004,8, отраженную относительно оси абсцисс.

Ответ: Зависимость силы тока от времени имеет вид $I(t) = -1004,8 \sin(314t)$ мкА. Это гармоническое колебание с амплитудой $I_m = 1004,8$ мкА, той же частотой, что и у заряда, но опережающее колебания заряда по фазе на $\pi/2$.

Исследование зависимости величин от частоты колебаний и начальной фазы

Рассмотрим общие уравнения для колебаний заряда и тока:

$q(t) = q_m \cos(\omega t + \varphi_0)$

$I(t) = q'(t) = -q_m \omega \sin(\omega t + \varphi_0) = I_m \cos(\omega t + \varphi_0 + \frac{\pi}{2})$

где $q_m$ - амплитуда заряда, $I_m = q_m \omega$ - амплитуда тока, $\omega$ - циклическая частота, $\varphi_0$ - начальная фаза.

Зависимость от частоты колебаний ($\omega$):

1. Амплитуда заряда $q_m$ не зависит от частоты $\omega$.

2. Амплитуда силы тока $I_m = q_m \omega$ прямо пропорциональна частоте. С увеличением частоты колебаний заряда, максимальный ток, протекающий в цепи, также увеличивается.

3. Период колебаний $T = 2\pi/\omega$ обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты период уменьшается, колебания на графике становятся "чаще" (график сжимается по горизонтальной оси времени).

Зависимость от начальной фазы ($\varphi_0$):

1. Амплитуды $q_m$ и $I_m$, а также частота $\omega$ и период $\text{T}$ не зависят от начальной фазы.

2. Начальная фаза определяет состояние системы в момент $t=0$. Значения заряда и тока в этот момент равны $q(0) = q_m \cos(\varphi_0)$ и $I(0) = -I_m \sin(\varphi_0)$.

3. На графиках изменение $\varphi_0$ приводит к их горизонтальному смещению вдоль оси времени на величину $-\varphi_0/\omega$. Положительная начальная фаза смещает график влево, отрицательная — вправо.

Ответ: Частота колебаний прямо влияет на амплитуду силы тока ($I_m = q_m \omega$) и обратно пропорционально на период колебаний, не изменяя амплитуду заряда. Начальная фаза не влияет на амплитуды и частоту, но определяет начальные значения величин и сдвигает графики колебаний по оси времени.