Задание 4, страница 23 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 4

Запишите уравнения зависимости силы тока и напряжения от времени для колебаний, происходящих по закону: $q = q_m \sin \omega t$. Постройте графики этих зависимостей.

Дано:

Закон изменения заряда со временем: $q = q_m \sin(\omega t)$, где $\text{q}$ — мгновенное значение заряда, $q_m$ — амплитуда заряда, $\omega$ — циклическая частота, $\text{t}$ — время.

Найти:

Уравнения зависимостей силы тока $i(t)$ и напряжения $u(t)$ от времени, построить графики этих зависимостей.

Решение:

1. Уравнение зависимости силы тока от времени
Сила тока $\text{i}$ по определению является первой производной заряда $\text{q}$ по времени $\text{t}$:
$i(t) = q'(t) = \frac{dq}{dt}$
Подставим данное нам уравнение для заряда и найдем производную:
$i(t) = \frac{d}{dt}(q_m \sin(\omega t))$
По правилу дифференцирования сложной функции:
$i(t) = q_m \cdot (\sin(\omega t))' = q_m \cdot \cos(\omega t) \cdot \omega = \omega q_m \cos(\omega t)$
Амплитудное значение силы тока $I_m$ равно $I_m = \omega q_m$. Тогда уравнение для силы тока примет вид:
$i(t) = I_m \cos(\omega t)$
Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})$, можно записать:
$i(t) = I_m \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
Это означает, что колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°).

Ответ: Уравнение зависимости силы тока от времени: $i(t) = \omega q_m \cos(\omega t)$.

2. Уравнение зависимости напряжения от времени
В контексте колебательного контура, напряжение на конденсаторе $\text{u}$ связано с зарядом $\text{q}$ и ёмкостью $\text{C}$ соотношением $q = C u$. Отсюда:
$u(t) = \frac{q(t)}{C}$
Подставим исходное уравнение для заряда:
$u(t) = \frac{q_m \sin(\omega t)}{C}$
Амплитудное значение напряжения $U_m$ равно $U_m = \frac{q_m}{C}$. Тогда уравнение для напряжения примет вид:
$u(t) = U_m \sin(\omega t)$
Это означает, что колебания напряжения на конденсаторе происходят в той же фазе, что и колебания заряда.

Ответ: Уравнение зависимости напряжения от времени: $u(t) = \frac{q_m}{C} \sin(\omega t)$.

3. Графики зависимостей
На основе полученных уравнений построим графики зависимостей заряда $q(t)$, напряжения $u(t)$ и силы тока $i(t)$ от времени.
- График $q(t) = q_m \sin(\omega t)$ — синусоида, выходящая из начала координат.
- График $u(t) = U_m \sin(\omega t)$ — также синусоида, совпадающая по фазе с графиком заряда.
- График $i(t) = I_m \cos(\omega t)$ — косинусоида. В начальный момент времени ($t=0$) сила тока максимальна. График опережает по фазе графики заряда и напряжения на четверть периода ($T/4$).