Задание 1, страница 19 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

Используя закон сохранения энергии для колебательного контура $W = \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2}$, получите уравнение электромагнитных колебаний § 2 (6).

Рекомендация: возьмите производную от полной энергии, учитывая, что емкость конденсатора, индуктивность катушки и полная энергия, остаются постоянными величинами (производная этих величин равна 0).

Задание 1

Дано:

Закон сохранения энергии для колебательного контура: $W = \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2}$

Полная энергия $\text{W}$, емкость конденсатора $\text{C}$ и индуктивность катушки $\text{L}$ являются постоянными величинами ($W = \text{const}$, $C = \text{const}$, $L = \text{const}$).

Найти:

Уравнение электромагнитных колебаний.

Решение:

Закон сохранения энергии для идеального колебательного контура (без сопротивления) гласит, что полная энергия $\text{W}$ системы остается постоянной. Следовательно, ее производная по времени равна нулю:

$\frac{dW}{dt} = 0$

Запишем выражение для полной энергии и продифференцируем его по времени $\text{t}$:

$\frac{d}{dt}(W) = \frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2} \right) = 0$

Используем правило дифференцирования суммы: производная суммы равна сумме производных. Учтем, что емкость $\text{C}$ и индуктивность $\text{L}$ — постоянные величины.

$\frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{Li^2}{2} \right) = 0$

Найдем производные каждого слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции. Заряд $q(t)$ и сила тока $i(t)$ являются функциями времени.

$\frac{1}{2C} \cdot 2q \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{L}{2} \cdot 2i \cdot \frac{di}{dt} = 0$

$\frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = 0$

Сила тока $\text{i}$ по определению является скоростью изменения заряда (первой производной заряда по времени): $i = \frac{dq}{dt}$. Подставим это в уравнение:

$\frac{q}{C}i + Li\frac{di}{dt} = 0$

Вынесем общий множитель $\text{i}$ за скобки (считая, что в процессе колебаний ток не всегда равен нулю):

$i \left( \frac{q}{C} + L\frac{di}{dt} \right) = 0$

Это равенство выполняется, если $i=0$ (что верно лишь в моменты времени, когда заряд на конденсаторе максимален) или если выражение в скобках равно нулю. Для любого момента времени должно выполняться:

$\frac{q}{C} + L\frac{di}{dt} = 0$

Теперь выразим $\frac{di}{dt}$ через заряд $\text{q}$. Так как $i = \frac{dq}{dt}$, то производная тока по времени есть вторая производная заряда по времени:

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right) = \frac{d^2q}{dt^2}$

Для краткости вторую производную по времени часто обозначают как $q''$.

Подставим это выражение в наше уравнение:

$L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$

Разделим обе части уравнения на индуктивность $\text{L}$, чтобы привести его к стандартному виду:

$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0$

Или в более краткой записи:

$q'' + \frac{1}{LC}q = 0$

Это и есть дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее свободные незатухающие электромагнитные колебания в LC-контуре.

Ответ: Уравнение электромагнитных колебаний, полученное из закона сохранения энергии, имеет вид $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0$ (или $q'' + \frac{1}{LC}q = 0$).