Номер 4, страница 18 - гдз по физике 11 класс учебник Закирова, Аширов

4*. Определите период колебаний в контуре, изображенном на рисунке 19. В контур подключены два идеальных полупроводниковых диода. $C = 0,25 \text{ мкФ}$, $L_1 = 2,5 \text{ мГн}$, $L_2 = 4,9 \text{ мГн}$.

Рис. 19. Колебательный контур с идеальными диодами

Дано:

$C = 0,25 \text{ мкФ}$

$L_1 = 2,5 \text{ мГн}$

$L_2 = 4,9 \text{ мГн}$

$C = 0,25 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$L_1 = 2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

$L_2 = 4,9 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

В данном колебательном контуре установлены два идеальных диода, включенных в разных направлениях. Это означает, что ток может протекать через каждую из катушек индуктивности только в одном направлении.

Полный период колебаний $\text{T}$ будет состоять из двух полупериодов. В течение первого полупериода, когда конденсатор разряжается в одном направлении, ток протекает через одну ветвь цепи (например, через катушку $L_1$). В этот момент контур представляет собой LC-цепь, состоящую из конденсатора $\text{C}$ и катушки $L_1$. Длительность этого полупериода $t_1$ равна половине периода колебаний для контура $L_1C$, который вычисляется по формуле Томсона $T_1 = 2\pi\sqrt{L_1C}$.

Таким образом, $t_1 = \frac{T_1}{2} = \pi\sqrt{L_1C}$.

После этого конденсатор перезаряжается и начинает разряжаться в обратном направлении. Ток теперь течет через вторую ветвь, содержащую катушку $L_2$, так как диод в первой ветви его не пропускает. Теперь контур состоит из конденсатора $\text{C}$ и катушки $L_2$. Длительность второго полупериода $t_2$ равна половине периода колебаний для контура $L_2C$.

$t_2 = \frac{T_2}{2} = \pi\sqrt{L_2C}$.

Полный период колебаний $\text{T}$ в исходной схеме равен сумме длительностей этих двух полупериодов:

$T = t_1 + t_2 = \pi\sqrt{L_1C} + \pi\sqrt{L_2C} = \pi\sqrt{C}(\sqrt{L_1} + \sqrt{L_2})$.

Подставим числовые значения:

$T = \pi\sqrt{0,25 \cdot 10^{-6}} (\sqrt{2,5 \cdot 10^{-3}} + \sqrt{4,9 \cdot 10^{-3}})$

Вычислим корни:

$\sqrt{C} = \sqrt{0,25 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ Ф}^{1/2}$

$\sqrt{L_1} = \sqrt{2,5 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}} = \sqrt{0,0025 \text{ Гн}} = 0,05 \text{ Гн}^{1/2}$

$\sqrt{L_2} = \sqrt{4,9 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}} = \sqrt{0,0049 \text{ Гн}} = 0,07 \text{ Гн}^{1/2}$

Теперь вычислим период $\text{T}$:

$T = \pi \cdot (0,5 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,05 + 0,07) = \pi \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} \cdot 0,12 = \pi \cdot 0,06 \cdot 10^{-3} \text{ c} = \pi \cdot 6 \cdot 10^{-5} \text{ c}$

Используя значение $\pi \approx 3,14$, получаем:

$T \approx 3,14 \cdot 6 \cdot 10^{-5} \text{ c} \approx 18,84 \cdot 10^{-5} \text{ c} \approx 1,88 \cdot 10^{-4} \text{ c}$.

Ответ: период колебаний в контуре равен $T = \pi(\sqrt{L_1C} + \sqrt{L_2C}) \approx 1,88 \cdot 10^{-4} \text{ c}$.